文档介绍：函数****题课(I)函数定义域和值域的求法
一、求函数定义域的方法
直接法求定义域
关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变 量的取值范围。
一般需要关注的解题要点：
分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5) y=tanx 中 xHkn + ：rt/2； y=cotx 中 xHk"等等。(6)x° 中 xMO
例1求下列函数定义域
① f(x)=——② f(x) = Jx + 1 + —-—
“3x + 7
解题时要关注定义域
函数的三要素是定义域，值域和对应关系。其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键, 是题目限制条件的体现。由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。若想正 确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写岀来。
例2已知函数/(x)-2 + log3x(l<-^<9),求函数[/(x)]2+/(x2)的最大值。
例3求函数/(x) = log“ ^x--2x (a >0且a丰1)的单调增区间。
有关抽象函数的定义域问题
抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x形式不同(如x+2,x2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一 点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。
例4已知函数/(x)的定义域为[0,2],求/(2x + l)的定义域。
例5己知函数/(2x + l)的定义域为(-1,5],求/(x)的定义域。
例6已知函数/(x + 1)的定义域为[0,2],求/(3%2 + %)的定义域。
二、求函数值域的方法
层层分析法(直接法)
这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。在分 析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x的时候，要注意分离常数法的
7 Y2 — Y -I- 1 1
例8求函数y= ~亠 (x> —)的值域
2x-l 2
x? + 4 兀 + 3
例9求函数y=笃 的值域
x + x — 6
例10求函数y二
2x2 +4x-7+ 2x+3
的值域
（二）换元法
常用来处理含根式的函数求值域。分以下几种情况:
1•出现单根式时用代数换元
例11求函数的值域 例12求函数y = 2x +Jl-3x的值域
出现平方和为定值（常有双根式）时用三角换元
例13求函数y = J8-X +丿3兀+6的值域
例14求函数y = x + 2 + J1 - （x + l）?的值域
出现指数或高次函数有时也用换元法
另例求函数y = 9x-3x+2 （xe[0,1]）的值域
（三）几何意义法
利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值 域。常用来解决含绝对值函数，含根式的函数的值域问题。
出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差
例15求函数y = |x-l|+|x+4j的值域
出现双根式时考虑两点间距离
例16求函数y = a/x2 +4 +』x1 - 6兀+ 10的值域
例 17 求函数 y = -\/x2 -6x+13-a/x2 +