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级数敛散性判别方法的归纳
（西北师大）
摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数；收敛；判别；发散
一. 级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛｝，形如
①
称为无穷级数(常简称级数),用表示。无穷级数①的前n项之和，记为
=②
称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛｝，若级数的部分和发散则称级数发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数和都收敛，则对任意的常数c和d，级数亦收敛，且=c+d
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N，使得当m＞N和任意的自然数
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，都有＜
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设和是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有，则
（i）级数收敛，则级数也收敛；
（ii）若级数发散，则级数也发散。
例 1 . 设收敛，证明：收敛（>0）.
证明：因为 0<<
易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以收敛。
由比较判别法知收敛（>0）.
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