文档介绍：函数的极值及其求法
定义
使得
有
则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 )
极大值点与极小值点统称为极值点 .
极大值与极小值统称为极值 .
1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
不存在的点(称为可疑极值点).
称 为 的一个极大值 (或极小值 )
注意
函数极值的求法
定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理)
定义
注意:
例如,
设
在点
处具有导数, 且在
处取得极值,
则
定理2 (第一充分条件)
(是极值点情形)
设
在点
处连续 ,
(1) 若
时,
而
时,
则
在点
处取得极大值;
(2) 若
时,
而
时,
则
在点
处取得极小值;
(3) 若
时,
的符号相同, 则
在点
处无极值.
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
例1
解
列表讨论
极大值
极小值
图形如下
例2
解
的极值 .
解
得驻点
不可导点
是极大值点，
其极大值为
是极小值点，
其极小值为
例3 求函数
不存在
定理3(第二充分条件)
证
同理可证(2).
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
设函数 f (x) 在点 x0 处 具有