文档介绍：圆的知识点总结
圆的知识点总结
（一）圆的有关性质
［知识归纳］
圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
圆的对称性
圆是轴对称图形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴， 圆有无数条对称
轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性。
圆的知识点总结
圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论 1
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦
心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
圆的知识点总结
推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等；
推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径；
推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
8. 轨迹
轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨
迹。
1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹， 是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；
（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
［例题分析］
例 1. 已知：如图 1，在⊙O中，半径 OM⊥弦 AB于点 N。
1
圆的知识点总结
①若 AB＝， ON＝1，求 MN的长；
②若半径 OM＝R，∠ AOB＝120°，求 MN的长。
解：①∵ AB＝，半径 OM⊥AB， ∴AN＝BN＝
∵ON＝1，由勾股定理得 OA＝2
∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1
②∵半径 OM⊥AB，且∠ AOB＝120° ∴∠ AOM＝60°
∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝
∴
说明：如图 1，一般地，若∠ AOB＝2n°， OM⊥AB 于 N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsin n °＝ 2htan n °＝
2. 已知：如图 2，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝25°，以点 C为圆心、 AC为半径作⊙ C，交 AB于点 D，求的度数。
2
分析：因为弧与垂径定理有关； 与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几