文档介绍：第2章 图形的轴对称
角平分线的性质
问题1：
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路穿插处500米，这个集贸市场应建在何处？〔比例尺为1︰20000〕
解决问题
s
1、 观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。你能说明它的道理吗？
探究
在△ADC和△ABC 中
AB=AD〔〕
AC=AC〔公共边〕
DC=BC〔〕
∴ △ADC≌△ABC (SSS)
∴∠DAC=∠BAC〔全等三角形对应角相等〕
∴ AE平分∠BAD〔角平分线定义〕
证明 ：
B
D
A
C
E
：AB=AD，BC=DC。
求证：AC是∠BAD的平分线
： ∠ＡＯＢ(如图)
求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
O
A
B
N
M
C
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中
OM=ON
MC=NC
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
2、根本作图：平分角
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径在角的内部作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
3、作射线OC，射线OC即为所求。
1
2
MN
思考：
当∠AOB的两边成一条直线〔即∠AOB=180° 〕，通过上面的步骤得到射线OC后， OC是这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
1、折痕PE和PD与角的两边OA、OB有什么关系？
PD和PE相等吗？
2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？
3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。
C
O
B
A
P
D
E
3、观察折纸，思考问题：
将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?
角平分线性质:
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
:(如图)ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点, PD⊥OA,PE⊥OB
求证:PD=PE
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点〔〕
∴∠DＯP=∠BＯP〔角平分线定义〕
∵PD⊥OA,PE⊥OB 〔〕
∴∠ODP=∠OEP=90°〔垂直的定义〕
在△OPD和△OPE 中
∠DOP=∠BOP 〔已证〕
∠ODP=∠OEP 〔已证〕
OP=OP 〔〕
∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS)
∴ＰＤ＝ＰＥ〔全等三角形对应边相等〕
几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
E
D
O
A
B
P
C
解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD= ,D即为所求。
D
C
s
：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
应用与提高
证明：
∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°〔〕
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE 〔已证〕
DF=DB 〔〕
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB 〔全等三角形对应边相等〕