文档介绍：- -
- -
几何证明中的几种技巧
一．角平分线－－轴对称
在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．
分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．那么ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴．
在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．
分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由可得：，，．
∴，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．
在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．
分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，
- -
- -
．由可得：，．由∵ＢＦ＝ＢＤ，
∴．由三角形外角性质可得：．∴ＣＦ＝ＤＦ．
∵，∴，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，
∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．
在ΔABC中，，，ＡＦ平分，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ．
分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．
易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．那么易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．
∴ＡＣ＝ＡＤ．
如图〔１〕所示，ＢＤ和ＣＥ分别是的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．
求证：
假设〔a)ＢＤ与ＣＥ分别是的内角平分线〔如图〔２〕〕；
(b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线〔如图〔３〕〕．
那么在图〔２〕与图〔３〕两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况给予证明．
- -
- -
图〔１〕 图〔２〕 图〔３〕
分析：图〔１〕中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴．
同理可得图〔２〕中；图〔３〕中
如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．
分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．
∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔD〔ＨＬ〕．∴ＢＭ＝ＣＮ．
如图，在ΔABC中，，ＡＤ平分．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．
分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．那么有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．
∴．又∵，∴．
-