文档介绍：线性空间与线性变换
基本内容
线性空间的定义与性质；维数、基与坐标；线性子空间。
线性变换的定义与性质及线性变换的矩阵。
基本要求与重、难点
基本要求：理解线性空间与线性变换的定义；掌握线性空间与线性变
换的判别准则；会求线性空间的基与维数及线性变换的矩阵。
重点：线性空间的基与维数及线性变换的矩阵。
难点：线性空间与线性变换的定义。
典型例题解析
例1设R+表示全体正实数，定义运算㊉与。为
。㊉b = ab , koa = ak,其中 a,b e R+ , k e R .
则在此运算下官构成实数域上的线性空间.
分析具体验证此运算满足线性空间的8条性质
证明
% ㊉。2 =。1。2 =。2。1)=。2 ㊉。1 ；
(。1 ㊉。2)㊉=(。1。2)㊉=(。1。2)a3 = aS。2。3)= % ㊉(缶 ㊉ ％)；
。1 ㊉ 1 = q • 1 = % ；
、 1 I 1
ax © — =。[ = 1；
。1 角
V) ] o Q] = (。1)1 = Q]；
k。(I。%) = k。(q；) = (a[)k = a, = (Ik) ° ax ；
(k o %)㊉(/。) = (*)㊉(商)=* * = a[+l = (k + /)。％ ；
k o (d[㊉ a2) = k o = ( axa2)k = =(k o ar)㊉(k。缶)。
所以，全体正实数k在此运算下构成实数域&上的线性空间.
[x]”的一个基、维数以及向量p在该基下的坐 标.
解
容易看出，在线性空间P[X]“中，它的一个基为
Pi = 1' P2 = X' P3 = X，…,P" = X ■> Pn+\ = X，
故其维数 dimP[x]„ =n + l.
任何次数不大于n的多项式p = a0+alx + a2x2 + • ■ ■ + an_｛xn^ + anxn可以 表示为
P = % Pi + a, P2 + 缶 P3 +…+ a,- P„ + a„P„+i ，
所以在基｛Pi，P2,"-,Pn+i｝下的坐标为(％,a”.
如果在P[x]„中另取一个基
p｛ = l,p'2 = x-a,---, p'n+l = (x — a)",
则由P在x = a点的Taylor多项式
〃(〃)(Q)
p = p(ct) + p\a)(x-a) H F— (x-a)n ,
n\
可知 p 在基•••,/+]｝下的坐标为 p(a),p，(a),...,P 〃?)] .
从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不 同基下的坐标一般是不相同的.
例3设〃阶方阵A = («..)_,定义〃维线性空间R"中的变换T为
y = T(x) = Ax, x g Rn.
试证T为R"中的线性变换，并求T的核.
分析验证此变换满足线性变换的定义.
证明因为对于任意的a15«2 eR" , "R,有
T0i + %)=人(。1 + %) = A% + A% = T("i) + T (%)，
T (4"i) = ) = 2(A6Zj) = AT ("i).
所以T是线性变换.
由线性变换T的定义知，T的核空间St=｛x\Ax = 0｝就是齐次线性 方程组Ax = 0的解空间.