文档介绍：正定二次型
授课题目：正定二次型
授课时数：4学时
教学目标：掌握正定二次型的定义、性质及
判定
教学重点：正定二次型的性质及判定条件
教学难点：正定二次型的判定条件
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数域F上文字x1, x2,…, xn的二次型
f (x1, x2,…, xn)=XTAX
可以看成是定义在Fn上的n元数值函数，对任意
Α=(c1,c2,…,cn)T∈F n有f (c1,c2,…,cn)=αTAα
为F中惟一确定的数，即f：F n→F为以F n中的向
量为变量的数值函数．从这一观点出发，我们可
以根据下列定义，对二次型进行适当分类．
一. 实二次型的分类
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定义1　n元实二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX，如
果对任意一组不全为零的实数(c1,c2,…,cn),都有
1)f(c1,c2,…,cn)＞0, 则称该二次型为正定的；
2)f(c1,c2,…,cn) ＜0, 则称该二次型为负定的；
3)f(c1,c2,…cn)≥0, 则称该二次型为半正定的；
4)f(c1,c2,…,cn)≤0, 则称该二次型为半负定的；
5)f(c1,c2,…,cn)＞0,即不是半正定的又不是半
负定的, 则称其为不定的．
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f(x1, x2,…, xn)=
+
+…+
是正定的，但二次型
+
+…+
(r<n)不是正定二次型，二次型
+…+
由定义不难看出，二次型
f(x1, x2,…, xn)=
f(x1, x2,…, xn)=
正定的充分必要条件是：d i>0, i=1,2, …,n.
二. 实二次型正定性的判定
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　可逆线性替换不改变实二次型的正定
性．
1. 可逆线性替换与实二次型的正定性
证　若f(x1, x2,…, xn)＝XTAX正定，经可逆线性
替换X=PY化为g(y1, y2, …, yn)=YTBY
(其中B=PTAP), 对任意一组不全为0的实数
α=(c1,c2,…,cn)T, 注意到P可逆且α≠0，有
Pα≠0, 从而有
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g(c1,c2,…,cn)=αTBα=
αT(PTAP)α=(Pα)TA(Pα)>0
这说明二次型g(y1, y2, …, yn)=YTBY正定．
反之，若二次型g(y1, y2, …, yn)=YTBY正定，对任
意一组不全为0的实数α=(c1,c2,…,cn)T有P-1α≠0,
从而
αTAPα=αT[(P-1)TB(P-1)]α=(P-1α)TB(P-1α)>0.
这说明二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX正定．□
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　若n元实二次型f(x1, x2,…, xn)=XTAX
的秩为r，正惯性指标为p，则
正定的充要条件是n＝r＝p；
1) f(x1, x2,…, xn)
负定的充要条件是n＝r且p＝0；
2) f(x1, x2,…, xn)
半正定的充要条件是r＝p；
3) f(x1, x2,…, xn)
不定的充分必要条件是r> p>0.
5) f(x1, x2,…, xn)
半负定的充要条件是p＝0；
4) f(x1, x2,…, xn)
2. 实二次型正定性的判定
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推论1　n元实二次型
正定的充分必要条件是：它的典范形为
+
+…+
三. 正定矩阵
必要条件是：　　　　　　正定．
显然，n元实二次型　　　　　　是负定的充分
1. 实正定矩阵的定义
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证明　设A是实对称矩阵，若A是正定的，则实
是正定的(负定的,半正定的,半负定的,不定的),
则相应的实对称矩阵A称为是正定的(负定的,
半正定的,半负定的,不定的).
定义2　若实二次型
推论2　实对称矩阵A是正定的充分必要条件是：
它与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵C,使A=CTC．
2. 实正定矩阵的性质及判定
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故存在可逆矩阵C, 使得A=CTIC=CTC, 反之亦然.
推论3　若A正定，则
是正定的, 由推论1知, 正定二次型的典范形为
+
+…+
证明　若A正定，由推论2知，存在可逆矩阵C，
使A=CTC，从而
二次型
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