文档介绍：第四节 实对称矩阵的相似矩阵
实对称矩阵的相关结论
用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角形
矩阵的方法
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实对称矩阵的特征根是实数。
一、实对称矩阵的相关结论
定理
定理的意义 由于实对称矩阵A的特征值 是实数
所以实系数齐次线性方程组 必有实
的基础解系 ,
从而对应的特征向量可以取实向量.
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证明
于是有
两式相减，得
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是实对称矩阵A的两个特征根，
分别是对应于
设
的特征向量，若
定理
证明
于是
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设A是n阶实对称矩阵，
从而对应特征根
恰有r个线性无关的特征向量。
定理
为对角元素的对角矩阵。
设A是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P
定理
证明: 设A的互不相等的特征根为
它们的重数依次为
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这样的特征向量共可得n个。
按定理 知对应于不同特征根的特征向量正交，
故这n个单位特征向量两两正交。
则对应特征根
线性无关的实
于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,
其中对角矩阵
的对角元素
特征向量，把它们正交化并单位化,即得 个单位
正交的特征向量.
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1) 求A 的特征值.
其中
2) 对于每个
求特征向量
设
二 正交矩阵P化对称阵A为对角阵
的代数重数.
的基础解系,
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3)   对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交
化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),
然后再单位化,得标准正交基.
则P是一个n 阶正交阵,且
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解 由
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于是得正交阵
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