现代控制理论极小值原理PPT学习教案.pptx

文档介绍：会计学
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但是，实际工程问题中，控制变量往往是受到一定限制，容许控制集合是一个m维有界闭集，这时，控制变分 在容许集合边界上就不能任意选取，最段控制的必要条件 变不存在了。若最优控制解（如时间最小问题）落在控制集的边界上，一般便不满足 ，就不能再用古典变分法来求解最优控制问题了。
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本章介绍的极小值原理是控制变量 受限制的情况下求解最优控制问题的有力工具。它是由苏联学者庞特里亚金于1956年提出的。极小值原理从变分法引伸而来，它的结论与古典变分法的结论极为相似，但由于它能应用于控制变量 受边界限制的情况，并不要求哈密尔顿函数H对u连续可微，因此其适用范围扩大了。

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第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 属于m维有界闭集U，即
(8-2)
性能指标为：
(8-3)
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则使性能指标 达到极小的最优控制 及最优状态轨线 必须满足以下条件：
⑴ 正则方程
(8-4)
(8-5)
这里， 为哈密尔顿函数， 为协态变量，其定义与在变分法中相同。
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⑵ 哈密尔顿函数对应最优控制时为极小值，即：
(8-5)
或
(8-6)
当不受边界限制时，则上式与等效。
⑶ 根据不同的边界情况， 及 满足相应的边界条件及横截条件，它们与变分法中所应满足的边界条件及横截条件完全相同。
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比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现两者的差别仅在⑵。
极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。
设系统动态方程为：
(8-7)
边界条件为： ，为简单起见，假设终端时刻 及终端状态 均为自由。控制变量 受有界闭集约束，即
(8-8)
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求最优控制 使性能指标
(8-9)
为极小。
设对应于最优情况的性能指标为 ，仅考虑由于 偏离 　　　　　　　时的性能指标为　　，则按最优的定义，下式必然成立
设　　偏离　　足够小
(8-10)
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则由此引起的的增量可以由下式表示
(8-11)
这里， 表示二阶及二阶以上的高阶项， 是 的线性主部，它与 成线性关系。当 时 这时可以由泛函变分 来近似代替泛函的实际增量
设有控制变量 ，在时间区间 内只能在容许范围内变化，如图8-1所示。设对应取极小时之最优控制为 （见图8-1），它由三个区间组成：
⑴ 在 及 区间内， 处在容许集内，由于 可以任取， 均处在容许集内，这种情况下，泛函达极小值的必要条件为：
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(8-12)
图8-1 的容许域
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