用正交多项式做最小二乘拟合PPT学习教案.pptx

文档介绍：会计学
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用正交多项式做最小二乘拟合
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接下来根据给定节点 及权函数
构造带权 正交的多项式 .
注意 ，用递推公式表示 ，即
（）
根据 的
这里 是首项系数为1的 次多项式，
正交性，得
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（）
下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.
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假定 对 及
要证 对 均成立.
由（）有
由（）第二式及（）中 的表达式，有
均成立，
（）
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而 ，
于是由（），当 时，
另外， 是首项系数为1的 次多项式，它可由
由归纳法假定，
当 时
的线性组合表示.
由归纳法假定又有
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由假定有
再考虑
（）
利用（）中 表达式及以上结果，得
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至此已证明了由（）及（）确定的多项式 
组成一个关于点集 的正交系.
用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，
只要根据公式（）及（）逐步求 的同时，
相应计算出系数
最后，由 和 的表达式（）有
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并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的
用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并
且当逼近次数增加一次时，只要把程序中循环数加1，其余
不用改变.
这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.
拟合曲线
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最佳平方三角逼近与快速傅里叶变换
当 是周期函数时，显然用三角多项式逼近
比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最
小平方逼近及快速傅里叶变换，简称FFT算法.
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最佳平方三角逼近与三角插值
设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多
项式
（）
做最佳平方逼近函数.
由于三角函数族
在 上是正交函数族，于是 在 上的最小
平方三角逼近多项式 的系数是
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