文档介绍：8欧式空间
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第八章 欧氏空间
向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广，然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念，而一般的向量空间里却没有得到反映。这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。学****中还要注意学****具体到抽象，再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质
几何空间里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的，即
，表示的长度，表示与的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积，因为还没有定义长度和夹角。我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设是实数域上的一个向量空间，有一个到的二元实函数，记作
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，具有以卡性质：,
1) ;
2) ;
3) ;
4) , 等号成立当且仅当
叫做向量与的内积，叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 ，规定与的内积为
，则作成一个欧氏空间。
如果定义 ，不难验证，对也作成一个欧氏空间。这就是说，一个向量空间可以定义不同的内积作成不同的欧氏空间。
一般，我们说都是指对内积而言的欧氏空间。
例2 在闭区间上的所有实连续函数所成的向量空间中，对于，定义内积
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由定积分的性质不难证明，内积的性质都满足，作成一欧氏空间。
可以举出很多各式各样的欧氏空间。
容易证明下面欧氏空间的一些基本性质：
1) ;
2) 若 ，则；
3) ;
4) ;
5) ;
的在几何空间中，向量的长度为, 类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进
定义 2 非负实数称为向量的长度，记为。
向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： ，事实上，
长度为1的向量称为单位向量。如果是一个非零向量， 就是一个单位向量，用向量
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的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化。
在解折几何中，向量与的夹角的余弦可以通内积来表示：，为了在一般旳欧氏空间中能引人夹角的概念，我们需要证明不等式。
定理1 ：，有
当且仅当线性相关时等号成立。
证明 若线性相关，则，或，总有
若线性无关，则不论取何值 ，从而，
，二次三项式的判别式
，即
若等号成立，必线性相关。
定理1中的不等式称为柯西-布涅柯夫斯基不等式，也有的书称为柯西-施瓦兹不等式。
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结合具体例子我们来看这个不等式的应用。
应用到例1中就是，
应用到例2中就是，
例3 ，有 。
证明 在中，取 ，应用柯西-布涅柯夫斯基不等式即可。
定义3 非零向量的夹角定义为
， 。
关于长度具有三角不等式：
，
事实上，
，开平方得
定义4 若，则说是正交的。
由定义可以看出两个向量非零向量正交，则，也就是说、是垂直的，可以记为⊥，只有零向量才与自身正交，除此之外，任意非零向量均不能与自身正交。
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在欧氏空间中勾股定理也成立，即：当⊥时，。事实上，
。
这个结果可推广到 个向量正交的情形。
定义5 设是数域上的维向量空间的一组基，
则称为基的度量矩阵。
由 ，故。
，有
，
若令 ，，则，
当，则，有，由此可知，度量矩阵是正定的。
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定理2 不同基下的度量矩阵是合同的。
证明：设是的另一组基，，设，则
，
则。
§2 正交组、标准正交基
定义1 欧氏空间的一组两两正交的非零向量组叫做一个正交组，如果一个正交组中的向量都是单位向量，则这正交组叫做一个标准正交组；在维欧氏空间中，由个两两正交的向量组成的基称为正交基，若这个向量都是单位向量，则称为标准正交基。
定理1 正交组是线性无关的。
证明 设是一个正交组，若有
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，使得
依次用与上式作内积，得 ，，故。
由此可得
推论1 维欧氏空间中，由个向量组成的正交组就是正交基。由个单位向量组成的正交组就是标准