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文档介绍:8欧式空间


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第八章 欧氏空间
向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念,从而可以合理的定义有向量的长度和夹角,这样的向量空间称为欧氏空间,在许多领域里有广泛的应用。学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质
几何空间里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即
,表示的长度,表示与的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。我们要根据几何内积所满足的性质来定义,回想到在第四章第8节在定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。所以在抽象的讨论中,我们取内积作为基本的概念。
定义1 设是实数域上的一个向量空间,有一个到的二元实函数,记作


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,具有以卡性质:,
1) ;
2) ;
3) ;
4) , 等号成立当且仅当
叫做向量与的内积,叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候,我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中,对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质,所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 ,规定与的内积为
,则作成一个欧氏空间。
如果定义 ,不难验证,对也作成一个欧氏空间。这就是说,一个向量空间可以定义不同的内积作成不同的欧氏空间。
一般,我们说都是指对内积而言的欧氏空间。
例2 在闭区间上的所有实连续函数所成的向量空间中,对于,定义内积


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由定积分的性质不难证明,内积的性质都满足,作成一欧氏空间。
可以举出很多各式各样的欧氏空间。
容易证明下面欧氏空间的一些基本性质:
1) ;
2) 若 ,则;
3) ;
4) ;
5) ;
的在几何空间中,向量的长度为, 类似地,我们在一般的欧几里得空间中引进
定义 2 非负实数称为向量的长度,记为。
向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合熟知的性质: ,事实上,
长度为1的向量称为单位向量。如果是一个非零向量, 就是一个单位向量,用向量


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的长度去除向量,得到一个与成比例的单位向量,通常称为把单位化。
在解折几何中,向量与的夹角的余弦可以通内积来表示:,为了在一般旳欧氏空间中能引人夹角的概念,我们需要证明不等式。
定理1 :,有
当且仅当线性相关时等号成立。
证明 若线性相关,则,或,总有

若线性无关,则不论取何值 ,从而,
,二次三项式的判别式
,即

若等号成立,必线性相关。
定理1中的不等式称为柯西-布涅柯夫斯基不等式,也有的书称为柯西-施瓦兹不等式。


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结合具体例子我们来看这个不等式的应用。
应用到例1中就是,

应用到例2中就是,
例3 ,有 。
证明 在中,取 ,应用柯西-布涅柯夫斯基不等式即可。
定义3 非零向量的夹角定义为
, 。
关于长度具有三角不等式:

事实上,
,开平方得
定义4 若,则说是正交的。
由定义可以看出两个向量非零向量正交,则,也就是说、是垂直的,可以记为⊥,只有零向量才与自身正交,除此之外,任意非零向量均不能与自身正交。


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在欧氏空间中勾股定理也成立,即:当⊥时,。事实上,

这个结果可推广到 个向量正交的情形。
定义5 设是数域上的维向量空间的一组基,

则称为基的度量矩阵。
由 ,故。
,有


若令 ,,则,
当,则,有,由此可知,度量矩阵是正定的。



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定理2 不同基下的度量矩阵是合同的。
证明:设是的另一组基,,设,则


则。

§2 正交组、标准正交基
定义1 欧氏空间的一组两两正交的非零向量组叫做一个正交组,如果一个正交组中的向量都是单位向量,则这正交组叫做一个标准正交组;在维欧氏空间中,由个两两正交的向量组成的基称为正交基,若这个向量都是单位向量,则称为标准正交基。
定理1 正交组是线性无关的。
证明 设是一个正交组,若有


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,使得

依次用与上式作内积,得 ,,故。
由此可得
推论1 维欧氏空间中,由个向量组成的正交组就是正交基。由个单位向量组成的正交组就是标准

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上传人:sunny 2021/9/15 文件大小:2.24 MB

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