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第二十章 曲线积分与曲面积分
1第一型曲线积分与曲面积分
1对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质.
2 •计算下列第一型曲线积分：
(1) ](x2+y2)ds，其中L是以(0，0),(2，0)，(0，1)为顶点的三角形；
⑵ l x2 y2ds，其中L是圆周x2 y2 = ax；
⑶ l xyzds，其中 L 为螺线 x 二 a cost, y = asin t , z = bt(0 ：：： a ：：： b),0 _ t _ 2 二；
⑷ L(x2 y2 z2)ds，其中L与⑶相同；
4 4 2 2 2
⑸ JL(x‘ + y3)ds，其中 L 为内摆线 x3 + y3 = a3 ；
⑹ l y2ds，其中 L 为摆线的一拱 x=a(t-sint), y =a(1-cost),0 乞 t 乞 2二；
⑺ lxyds，其中L为球面x y - z = a与平面x y ^0的交线；
(8) ((xy+yz+zx)ds，其中 L 同(7)；
(9) [xyzds，其中 L 是曲线 x =t, y =2 J2?3, z =」t2(0 兰t 兰 1)；
3 2
(10) [ J2y2 +z2ds，其中 L 是 x2+y2+z2=a2 与 x = y 相交的圆周.
3•计算下列第一型曲面积分：
(1) i i(x2 y2)dS，其中S是立体x2 y2 <z <1的边界曲面；
S
⑵ 2dS 2，其中S为柱面x2 • y2二R2被平面z=0和z = H所截取的部分；
S x y
3 2 2 2
⑶ ,|x y z|dS，其中S为曲面z =x ■ y被z =1割下的部分；
S
(4) z2dS，其中S为螺旋面的一部分：
S
x =u cosv, y = usi nv,z=v (0_u _a,0_v ；)
⑸ i i (x2 y2)dS， S 是球面 x2 y2 z2 二 R2 .
S
4•设曲线L的方程为
x cost,y 二几int,^et (0罕丸 )
它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点 (1,0,1)处为1,求它的质量.
x二r cost, y二rsin v(0 v ■:)，其线密度
T=ar(a为常数)，求它对原点(0, 0)处质量为m的质点的引力.
h
6 .求螺线的一支 L : x二acost, y二asi nt,z t(0_t_2二)对x轴的转动惯量
2兀
I = j (y2 - z2)ds •设此螺线的线密度是均匀的.
1 2 2 _
(x y ) , 『=z .
2
2 2 2 2
&计算球面三角形 x y - z =a, x 0, y 0, z
度1.
2 2 9 9
9. 求均匀球壳 x y - z = a (z_0)对z轴的转动惯量.
/ 2 2 y
10. 求均匀球面 z = . a -x - y (x 一 0, y 一 0, x • y乞a)