文档介绍：一、 函数项级数的概念
设
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
敛点,
所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
为定义在区间 I 上的函数, 称
收敛,
发散 ,
所有
为其收
为其发散点,
发散点的全体称为其发散域 .
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为级数的和函数 , 并写成
若用
令余项
则在收敛域上有
表示函数项级数前 n 项的和, 即
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
称它
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例如, 等比级数
它的收敛域是
它的发散域是
或写作
又如, 级数
级数发散 ;
所以级数的收敛域仅为
有和函数
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二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数,
其中数列
下面着重讨论
为幂级数的系数 .
的情形, 即
称
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记
例如, 幂级数
即是此种情形.
零点附近取较少的项就能较好的逼近，但是在1和-1附近，则需要更多项，才能较好的逼近。
又 幂级数
中心为
系数
…，
将级数写成
如何确定级数的收敛域呢？
令
所以当
即
问题
1. 如何确定幂级数的收敛域？
2. 和函数有何性质：如四则运算，求导和积分等。
幂级数收敛域的确定：
非空，
一定属于收敛域。
问题1.
收敛域的结构：Abel定理
发 散
发 散
收 敛
收敛
发散
* 定理 ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
时该幂级数发散 ,
则对满足不等式
**证: 设
收敛,
则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
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当 时,
收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
也收敛,
反之, 若当
时该幂级数发散 ,
下面用反证法证之.
假设有一点
满足不等式
所以若当
满足
且使级数收敛 ,
面的证明可知,
级数在点
故假设不真.
的 x , 原幂级数也发散 .
时幂级数发散 ,
则对一切
则由前
也应收敛,
与所设矛盾,
证毕
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幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
由Abel 定理可以看出,
中心的区间.
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点,
的收敛域是以原点为
则
R = 0 时,
幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时,
幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
R 称为收敛半径 ，
在[－R , R ]
可能收敛也可能发散 .
外发散;
在
(－R , R ) 称为收敛区间.
发 散
发 散
收 敛
收敛
发散
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