文档介绍：数学指导：如何突破数学命题难点
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数学指导：如何突破数学命题难点
一、定位整体
新课程标准对“常用逻辑用语〞的定位为:“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的根本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，，同学们将在义务教育的根底上，学****常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.〞因此，学****逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁.
二、明确重点
“常用逻辑用语〞分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词.
“命题及其关系〞分两小节：一、“四种命题〞，此节重点在于四种命题形式及其关系，互为逆否命题的等价性；二、“充分条件和必要条件〞，此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断.
“简单的逻辑联结词〞重点在于“且〞、“或〞、“非〞这三个逻辑联结词的理解和应用.
“全称量词与存在量词〞重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有一个量词的命题的否认.
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三、突破难点
1.“四种命题〞的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假
例1分别写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
〔1〕全等三角形的面积相等；
〔2〕m＞时，方程mx2-x+1=0无实根；
〔3〕假设sinα≠，那么α≠30°.
解析〔1〕条件为两个三角形全等，，原命题即为“假设两个三角形全等，那么它们的面积相等〞，逆命题为“假设两个三角形面积相等，那么它们全等〞，否命题为“假设两个三角形不全等，那么它们的面积不相等〞，逆否命题为“假设两个三角形面积不相等，那么它们不全等〞.根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.
〔2〕原命题即为“假设m＞，那么方程mx2-x+1=0无实根〞，逆命题为“假设方程mx2-x+1=0无实根，那么m＞〞，否命题为“假设m≤，那么方程mx2-x+1=0有实根〞，逆否命题为“假设方程mx2-x+1=0有实根，那么m≤〞.根据判别式Δ=1-4m的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
〔3〕原命题即为“假设sinα≠，那么α≠30°〞，逆命题为“假设α≠30°，那么sinα≠〞，否命题为“假设sinα=，那么α=30°〞，逆否命题为“假设α=30°，那么sinα=〞.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否命题和否命题；由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.
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突破对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性.
2.“充分条件和必要条件〞的难点在于充要性的判断
例2在以下命题中，判断p是q的什么条件.〔在“充分不必要条件〞、“必要不充分条件〞、“充要条件〞、“既不充分又不必要条件〞中选出一种〕
〔1〕p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有实根.
〔2〕p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切；q：c2=〔a2+b2〕r2，其中a2+b2≠0，r≠0.
〔3〕设集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.
解析〔1〕当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“假设p那么q〞为假命题；当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“假设q那么p〞.
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〔2〕假设圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，那么圆心〔0，0〕到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=〔a2+b2〕r2，因此“假设p那么q〞为真命题；反过来，由c2=〔a2+b2〕r2，可得r=，即圆心〔0，0〕到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“假设q那么p〞.
〔3〕M∩N=〔2，3〕，M∪N=R，假设x∈〔2，3〕，此时显然有x∈R，因此“假设p那么q〞为真命题；反过来，假设x∈R，例如x=5，此时x?埸〔2，3〕，因此“假设q那么p〞.
突破①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，假