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弹性学制数学讲义
不等式（4课时）
★知识梳理
1、不等式的基本性质
①（对称性）
②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性）
（异向可减性）
④（可积性）
⑤（同向正数可乘性）
（异向正数可除性）
⑥（平方法则）
⑦（开方法则）
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
①,（当且仅当时取号）. 变形公式：
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②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
④
（当且仅当时取到等号）.
⑤
（当且仅当时取到等号）.
⑥（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
⑦，（其中
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
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⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式
①平均不等式：，，当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：
②幂平均不等式：
③二维形式的三角不等式：
④二维形式的柯西不等式：
当且仅当时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
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⑦向量形式的柯西不等式：
设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小），
如
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等.
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
（时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
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⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等