文档介绍：旅游与管理工程学院第八章因子分析与主成分分析旅游与管理工程学院主成分分析?每个人都会遇到有很多变量的数据。?比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据;各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。?这些数据的共同特点是变量很多,在如此多的变量之中,有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。旅游与管理工程学院?在多数实际问题中,不同指标之间是有一定相关性。由于指标较多及指标间有一定的相关性,势必增加分析问题的复杂性。?因子分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标。同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息。旅游与管理工程学院?因子分析是考察多个数值变量间相关性的一种多元统计方法,它是研究如何通过少数几个主成分来解释多变量的方差—协方差结构。?导出几个主成分,使它们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此间不相关。旅游与管理工程学院?本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法: 主成分分析(principal component analysis )和因子分析(factor analysis )。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前,先看下面的例子。旅游与管理工程学院成绩数据( ) ? 100 个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表(部分)。旅游与管理工程学院从本例可能提出的问题?目前的问题是,能不能把这个数据的 6 个变量用一两个综合变量来表示呢? ?这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢? ?能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢?这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业,对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。旅游与管理工程学院主成分分析?例中的的数据点是六维的;也就是说,每个观测值是 6 维空间中的一个点。我们希望把 6 维空间用低维空间表示。?先假定只有二维,即只有两个变量,它们由横坐标和纵坐标所代表;因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值;如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵(这在变量的二维正态的假定下是可能的) ?那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上,数据变化很少;在极端的情况,短轴如果退化成一点,那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了;这样,由二维到一维的降维就自然完成了。旅游与管理工程学院主成分分析?当坐标轴和椭圆的长短轴平行,那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化,而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。?但是,坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此,需要寻找椭圆的长短轴,并进行变换,使得新变量和椭圆的长短轴平行。?如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息,就用该变量代替原先的两个变量(舍去次要的一维),降维就完成了。?椭圆(球)的长短轴相差得越大,降维也越有道理。旅游与管理工程学院-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4