文档介绍：实用标准
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第一章平面向量
16、 向量：既有大小，又有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 单位向量：长度等于1个单位的向量.
平行向量（共线向量）：. 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
17、 向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点：共起点.
数量：只有大小，没有方向的量. 零向量：长度为0的向量.
⑶三角形不等式:
⑷运算性质：①交换律： a b a ；
AB+BC=AC
=a 亠 i b c ；③ a o=o a=a.
⑸坐标运算：设 a = xi, yi , b = X2, y2，贝U a b
二 xi X2, y< y2 .
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.
⑵坐标运算：设 a = x1, y( , b = x2, y2，贝V a - b
二 Xi-X2,yi - y2 .
设二、两点的坐标分别为 x1,y1 , x2, y2，则
19、向量数乘运算：
⑴实数■与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
①九a
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② 的方向与a的方向相反；当
当/ ，0时，■ a的方向与a的方向相同；当■ ：：： 0时，
⑵运算律：①，,ya = • J a :②［/ . = ■ ^' -a :③ /〔 a ■ b ' b .
⑶坐标运算：设 a二x,y，贝U，a二，x, y二 x, y .
20、向量共线定理：向量 a a = 0与b共线，当且仅当有唯 个实数 ■，使b二■ a .
4 4 斗呻 斗斗彳斗
设a = %, % , b二X2, y2 ,其中b = 0，则当且仅当x』2 - x?% = 0时，向量a、b b = 0
共线.
■4 T
21、平面向量基本定理：如果 ei、e＞是同一平面内 的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任意向量a，有且只有一对实数 -1、'2，使a = 'a • '2殳.（不共线的向量 e、e2作
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点P是线段?^2上的一点，?1、玉的坐标分别是 X,,% , x2, y2 ,
当■ ??2时，点m的坐标是勺 X2
I 1 + k
上 y2 •（当一 1时，就为中点公式。）
1 - ■
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23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 ）：
⑴a b ='ab cos日（a HO,b式0,0,兰日＜180 ）•零向量与任一向量的数量积为 0 .
⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a丄b二 弭=0 •②当a与b同向时，a b ；
当a与b反向时，a b=_'以必；a a=a2斗:匚或a =』a a .③a b兰咖。.
一 4 ^4 彳呻 4 4 呻 4^4 44^4
⑶运算律：① a b = b a :② a b a b = a ■ b :③ a b c a c b c .
—— T 4 彳*
⑷坐标运算：设两个非零向量 a = x1,y-! ， b = x2, y2，则a b = x,x2 .
设 a - X1, % ， b - x2, y2 j，则
若扌=(x, y )，则才/ = x2 + y2，或：| = Jx2 + y2 .
x 禺十 y y2 =0.
设a、 b都是非零向量，2=1心％ ，
b= X2』2 ，二是a与b的夹角，则
X1X2 yy
2
y2
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 .下面对空间向量在立体几何中证明，
求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴.
T T
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线I的方向向量.
⑵.平面的法向量：
一扌 彳 彳 若向量n所在直线垂直于平面:-，则称这个向量垂直于平面 ：•，记作n _〉，如果n _〉，
4
那么向量n叫做平面壽的法向量.
⑶.平面的法向量的求法（待定系数法）：
① 建立适当的坐标系.
4
② 设平面:-的法向量为n = （x, y, z）.
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③ 求