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二次型及其矩阵表示.doc

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文档介绍:第五章 二次型
§1 二次型及其矩阵表示
一、二次型及其矩阵表示
设是一个数域,一个系数在数域中的的二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型,简称二次型.
定义1 设是两组文字,系数在数域P中的一组关系式
(2)
称为由到,那么线性替换(2)就称为非退化的.
线性替换把二次型变成二次型.
令由于所以二次型(1)可写成
把(3)的系数排成一个矩阵
(4)
所以

应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型
且,则.

,

于是线性替换(4)可以写成
或者
.
经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.

(7)
是一个二次型,作非退化线性替换
(8)
得到一个的二次型

二、矩阵的合同关系
现在来看矩阵与的关系.
把(8)代入(7),有
易看出,矩阵也是对称的,由此即得
.
这是前后两个二次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵,称为合同的,如果有数域P上可逆的矩阵,使得
.
合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质:
1) 自反性:任意矩阵都与自身合同.
2) 对称性:如果与合同,那么与合同.
3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.
因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了有力的工具。
最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地,当线性替换


是非退化时,由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换,它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
§2 标准形
一、二次型的标准型
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
. (1)
定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1)的形式.
易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵,
反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论,经过非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为:
定理2 在数域上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使
成对角矩阵.
二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的标准形.
例 化二次型
为标准形.
二、配方法
1.这时的变量替换为


,
则上述变量替换相应于合同变换
为计算,可令
.
于是和可写成分块矩阵
,
这里为的转置,为
矩阵是一个对称矩阵,由归纳法假定,有可逆矩阵使
为对角形,令
,
于是
,
这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是
.
2. 但只有一个.
这时,只要把的第一行与第行互换,再把第一列与第列互换,就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取


显然
.
矩阵
就是把的第一行与第行互换,再把第一列与第列互换.因此,左上角第一个元素就是,这样就归结到第一种情形.
3.但有一
与上一情形类似,作合同变换
可以把搬到第一行第二列的位置,这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应,取
,
于是的左上角就是
,
也就归结到第一种情形.
4.
由对称性,
,

是级对称矩阵.由归纳法假定,有可逆矩阵使

就成对角形.
例 化二次型
成标准形.
§3 唯一性
§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
至于标准形中的系数,就不是唯一确定的.在一般数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设是一个复系数的二次型,由本章定理1,经过一适当的非退化线性替换后,变成标准形,不妨假定化的标准形是
.

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上传人:sanshenglu2 2021/9/21 文件大小:589 KB

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