文档介绍：1.( 选票问题) 假定一次选举中, 候选人甲得 a票, 候选人乙得 b票,且a> b, 试求下列事件的概率: (1) A:在计票过程中, 甲、乙的票数在某个时刻相等; (2) B:在计票过程中, 甲的票数总比乙的票数多; (3) C:在计票过程中, 甲的是数总不落后于乙. 思考方法本题结构比较复杂, 不大容易入手. 为了便于分析, 我们不妨考虑一个简化问题, 比如,令 a=3,b=2 . 这时, 样本空间就是 3 张属于甲的选票和 2 张属于乙的选票的全排列. 显然这是一个不尽相异元素的全排列问题, 其排列种数为 10 !2!3 )!23(???.如果把样本点具体写出来, 就是①乙乙甲甲甲,②乙甲乙甲甲,③乙甲甲乙甲,④乙甲甲甲乙,⑤甲甲乙乙甲,⑥甲乙乙甲甲,⑦甲乙甲乙甲,⑧甲乙甲甲乙,⑨甲甲乙甲乙,⑩甲甲甲乙乙. 为了直观地反映事件A ,B, C的情形, 我们可以利用平面坐标的思想, 建立样本点和平面折线的对应关系. 具体地说, 以横轴表示计票张数, 纵轴表示计票过程中甲、乙两候选人所得票数之差; 先依样本点在计票过程中的情形, 在坐标平面上确定点的位置, 再用线段把各点连成折线. 如图 3-3[1] 所示, 点O (0,0) 表示计票起点; 点A (1,-1) 表示第一张选票是属于乙的,甲、乙票数之差等于-1; 点B (2,-2) 表示第二张选票也是属于乙的, 这时共计了两张选票, 甲、乙票数之差等于-2 ;点C (3,-1) 表示第三张选票是属于甲的, 这时共计了三张选票,甲、乙票数之差等于-1 ;点D (4,0) 表示第四张选票是属于甲的, 这时共计了四张选票, 甲、乙票数之差等于 0, 即两人得票数相等;点E (5,1) 表示第五张选票也是属于甲的, 这时共计了五张选票, 甲、乙票数之差等于 1. 这样,图 3-3[1] 的折线就形象地刻划了样本点“乙乙甲甲甲”在计票过程中的情形. 同样,图 3-3[2] 至[10] 的各条折线, 刻划了其余九个样本点在计票过程中的情形. 经过上述处理, 我们从图 3-3 就可以形象地看到: 事件A包含的样本点, 它们所对应的折线, 除起点外, 与横轴至少有一个公共点; 事件B包含的样本点, 它们所对应的折线, 除起点外, 图形全在横轴的上方, 与横轴没有其余的公共点;事件C的样本点, 它们所对应的折线, 在横轴的上方, 且与横轴允许有其余的公共点. 这样, 从图中容易得到, A的样本点数为 8, B的样本点数为 2, C的样本点数为 5 .于是 P(A)=8/10=; P(B)=2/10=; P(C)=5/10=. 分析到这里, 简化问题得以解决. 为了能用于指导原题的解答, 我们还需对简化问题作进一步的考察. 细酌题中的各个事件, 从图 3-3 可以得到以下结论: 1. 在计票过程中, 甲的票数总比乙少的情形是不可能发生的. 事实上, 如果甲的票数总比乙少, 那么甲的得票总数将比乙少, 与条件 a>b 相矛盾. 这就表明, 事件A与B必为互逆事件. 2. 事件B的样本点, 对应于图 3-3[9] 、[10] 所示的折线. 这两个样本点的共同特点是: 甲先得一票; 如果把这一票扣除, 那么余下的四票就组成甲得 2票、乙得 2 票时, 事件“在计票过程中, 甲的票数总不落后于乙”的样本点