文档介绍：递推法解排列、组合及概率问题排列组合在高中数学旧教材中是相对独立的内容,而在高中数学新教材中排列组合是概率及统计的基础,因此,排列组合内容在高中数学新教材中的位置也变得相对重要起来了。而概率是新教材中新增加的内容,也是初等概率论中最基本的内容。在历年的高考中,排列组合知识多是选择题或填空题,概率一般是一个解答题,这些题的题型繁多,解法独特,因此得分率普遍较低。本文试图用递推法来解决几类常见的排列组合及概率问题。 1走楼梯问题例1:欲登上第 10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有()(A)34种(B)55种(C)89种(D)144 种解法 1:分类法: 第一类:没有一步两级,则只有一种走法; 第二类:恰有一步是一步两级,则走完 10 级要走 9步, 9 步中选一步是一步两级的,有 9 19?C 种可能走法; 第三类:恰有两步是一步两级,则走完 10 级要走 8步, 8 步中选两步是一步两级的,有 28 28?C 种可能走法; 依此类推,共有 55 46 37 28 ?????=89 ,故选(C)。解法 2:递推法: 设走 n 级有 na 种走法,这些走法可按第一步来分类, 第一类:第一步是一步一级,则余下的 1?n 级有 1?na 种走法; 第二类:第一步是一步两级,则余下的 2?n 级有 2?na 种走法, 所以 21???? nnnaaa ,又易得 2,1 21??aa ,由递推可得 89 10?a ,故选(C)。显然,递推法的关键是按照某种标准找出递推关系式,并求出 n 取第一个值(或前几个值)时的各项,然后代入递推关系式,求出题中要求的值。当然,我们也可以由找出的递推关系,求出通项 na ,但对于选择填空题,我们不必大动干戈的去求通项,因为这样太浪费时间与精力。 2更列问题把)( ??Nnn 个元素排成一列,所有元素各有一个不能占据的指定位置,且不同元素不能占据的指定位置也不同,我们把满足这种条件的一个排列叫做这些元素的一个更列。例2 :五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种解:首先我们把人数推广到 n 个人,即 n 个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有 na 种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系: 第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有 1?n 种站法。第二步:假设第一个人站在第 2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类: 第一类,第二个人恰好站在第一个位置,则余下的 2?n 个人有 2?na 种站队方式; 第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,……,第n 个人不站在第 n 个位置,所以有 1?na 种站队方式。由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列}{ na 的递推关系式: ) )(1( 12????? nnnaana ,显然,1,0 21??aa ,再由递推关系有 9,2 43??aa , 44 5?a ,故应选(B) 我们再来看一道全国高考题: 例3 :同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则 4张贺年卡不同的分配方式共有()(1993 年全国高考试