文档介绍：- .
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圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
〔1〕椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。假设为椭圆上任意一点，那么有。
椭圆的标准方程为：〔〕〔焦点在x轴上〕或〔〕〔焦点在y轴上〕。
注：①以上方程中的大小，其中；
②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆〔，，〕当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
〔2〕椭圆的性质
①X围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，假设以代替方程不变，所以假设点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，那么曲线关于轴对称。假设同时以代替，代替方程也不变，那么曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，那么，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，
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是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线
〔1〕双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线〔〕。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支〔含的一支〕；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
〔2〕双曲线的性质
①X围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的X围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线
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的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。
令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1〕注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。