文档介绍：易拉罐形状和尺寸的最优设计
组员：邢登峰，张娜，刘梦云
摘要
研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（ 355ml）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为 3：1 的条件下，建
v
2r ) ，由微积分方法求最优解，结论：易拉
立易拉罐用料模型 s(r ) 2 rd (
2
r
罐高与直径之比 2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径 2： 1
的条件下，将
易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：
min s(r , h)
g (r , h)r 2 h
v 0
r
0
h
0
用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为
3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比
2：1 的条件下，将上面为正圆
台的易拉罐用料优化设计， 转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型
圆台面积 s(r )r 2
( R r )
2 ( r
2
9v2
R2)2
( R r ) 2
rR
用数学软件求得最优解 r=, h=， s= 最小。
结论：易拉罐总高：底直径 =2： 1，上下底之比 =1： 2，与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割） ，认为高与直径之比 1： 更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模
问题重述
在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为 355 毫升的可口可乐、青岛啤酒等 ) 的饮料罐 (即易拉罐 )的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非
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偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的， 但是如果是生产几亿， 甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 具体说，请你们完成以下的任务：
1．取一个净含量为 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据， 例如易拉罐各部分的直径、 高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须
注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说
明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是
一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测