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抛物线及其性质
1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.
：
图形
[4^
参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离， p越大，开口越阔•
开口方向
右
左
上
下
标准方程
2
y 2px(p o)
2
y 2px(p 0)
2
X 2py(p 0)
2
X 2py(p 0)
焦点位置
X正
X负
Y正
Y负
焦点坐标
()
(£,o)
2
(0昴
(0, £)
2
准线方程
p
X
2
P
x —
2
P
y 2
P
y 2
范围
x 0, y R
x 0, y R
y 0, x R
y 0, x R
对称轴
X轴
X轴
Y轴
Y轴
顶点坐标
(0,0)
离心率
e 1
通径
2p
焦半径A(Xi,yJ
AF x<| —
2
AF X-| —
2
AF y1 2
AF y1 i
焦点弦长AB|
(X1 X2) p
(X1 X2) p
(y1 y2)p
(y1 y2) p
焦点弦长AB 的补充
A(Xi,yi)
B(X2, y2)
以AB为直径的圆必与准线 丨相切
若AB的倾斜角为 ，|ab| 2p
sin2
若AB的倾斜角为，则
AB
2p
2 cos
2
P 2
X1X2 y y2 p
4
1 1 AF BF AB 2
AF BF AF ?BF AF ?BF p
3 •抛物线 寸 2 px( p 0)的几何性质：
(1) 范围：因为p>0,由方程可知x> 0,所以抛物线在 y轴的右侧， 当x的值增大时，|y|也增大,
说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.
⑶顶点(0，0)，离心率：
e 1，焦点F(E,0)，准线x —，焦准距p.
2 2
2
⑷ 焦点弦：抛物线 y 2px(p 0)的焦点弦 AB , A(xi, yj , B(X2,y2),则 | AB | Xi X2 p .
弦长|AB|=x 1+X2+P，当Xi=X2时，通径最短为 2p。
: 焦点弦AB , A(xi，yi), B(x2,y2)，焦点F(-,0)
2
2
(1)若AB是抛物线y2 2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A^,%) , B(x2, y2)，则：xp2 —,
4
2
yy2 p。
若AB是抛物线 寸2p"p 0)的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为a,贝U AB
已知直线AB是过抛物线y2
2px(p
0)焦点F ,丄
AF
1
BF
AF BF
AF ?BF
2 P (aM 0)。 sin 2
AB 2
AF ?BF p
#
焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.
(5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 •②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,
以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5 •弦长公式：A(x1, y1) , B( x2, y2)是抛物线上两点，则
AB .(X1 X2)2 (y1 y2)2 、1 k2|x1 X2 | . 1 1 I y1 y2 I
6. 直线与抛物线的位置关系
直线」-，抛物线• 丫 一：",
厂
y -kx¥b
，消 y +2礙宀 0
(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
(2) 当k工0时，
* > 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；
* =0，直线l与抛物线相切，一个切点；
* v 0，直线l与抛物线相离，无公共点。
(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)
7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l : y kx b 抛物线- /， (p 0)
①联立方程法：
y kx b y2 2px
k2x2 2(kb p)x b2 0
设交点坐标为A(xi, yi) , B(X2, y2),则有 0 ,以及Xi X2, X1X2 ,还可进一步求出
2 2
y1 y2 kX1 b kx2 b k(Xr x2) 2b , y1 y2 (kX1 b)(kx2 b) k x-|X2 巾(为 x2) b
在涉及弦长，中点，对称，面