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文档介绍：第四节 对面积的曲面积分
概念的引入
对面积的曲面积分的定义
对面积的曲面积分的计算法
第一类曲面积分
对面积的曲面积分
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引例: 设光滑曲面形构件有连续面密度
类似求平面薄板质量的思想, 采用
可得
求质
“大化小, 近似代替, 求和, 求极限”
的方法,
量 M.
其中,  表示 n 小块曲面的直径的
(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
最大值
一、概念的引入
对面积的曲面积分
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
1. 定义
函数 f(x, y, z)在Σ上
任意取定的点,
并作和
如果当各小块曲面的直径
这和式的极限存在,
则
的最大值
①
②
③
④
对面积的曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义
第i 小块曲面的面积),
作乘积
设曲面Σ是光滑的,
同时也表示
有界.
把Σ 任意分成n小块
或
记为
即
如曲面是
曲面面积元素
被积函数
则积分号写成
积分曲面
称
极限为函数
对面积的曲面积分
第一类曲面积分.
闭曲面,
对面积的曲面积分
2. 对面积的曲面积分的性质
3. 对面积的曲面积分的几何意义
表示空间曲面Σ的面积.
对面积的曲面积分
表示以曲面Σ为顶,它在坐标面的投影为底的曲顶柱体的体积.
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表示面密度为连续函数
的质量M:
对面积的曲面积分
其质心坐标为:
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则
按照曲面的不同投影方向分为以下三类：
思想是:
化为二重积分计算.
(1)
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
则
则
(2)
(3)
对面积的曲面积分
2、确定投影域并写出
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据
化为二
曲面Σ选好投影面.
曲面Σ的显函数形式,
重积分进行计算.
对面积的曲面积分
例
解
投影域:
所截得的部分.
故
二重积分的对称性