文档介绍：如何证明一加一等于二? 有这个必要吗? 如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明,我只能说哥们儿你失望了。我说的 1和2可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧:1+1=2不是显然的吗?可是你是否考虑过,以前学几何的时候,我们总是从一些公理开始,逐渐推出需要的结论。然而,代数的学****却不是这样。我们有的是加法表和乘法表,而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1+1=2这样简单的算式都无法证明,那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的,至少是不科学的。看来,我们需要挖掘一些比 1 +1=2更基本的东西。什么是 1 ,什么是 2? 在证明之前,首先我们要明白什么是自然数,什么是加法。类似于几何的公理化理论体系,我们需要提出几个公理,然后据此定义自然数,进而定义加法。先来定义自然数。根据自然数的意义(也就是人类平时数数时对自然数的运用方法),它应该是从一个数开始,一直往上数,而且想数几个就可以数几个(也就是自然数有无限个)。据此我们得到以下公理: 公理 1. 0是一个自然数。公理 2. 如果 n是自然数,则 S(n) 也是自然数。在这里, S(n) 就代表 n的“后继”,也就是 n往上再数一个。没错,我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ??,无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数,用“1”来表示 0的后继 S(0) , 而1的后继 S(1) 则用符号“2”来表示,等等。可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2,3构成的数字系统,其中 S(3) =0(即 3的后一个数变回 0)。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制: 公理 3. 0不是任何一个数的后继。但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2,3, 其中 S(3) =3。看来,我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条: 公理 4. 若n与m均为自然数且 n≠m,则 S(n) ≠S(m) 。也就是说,互不相同的两个自然数,它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来,上面说到的反例就可以排除了,因为 3不可能既是 2的后继,也是 3的后继。最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 ),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。公理 5. (数学归纳法)设P(n) 为关于自然数 n的一个性质。如果 P(0) 正确, 且假设 P(n) 正确,则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n都正确。有了这以上的努力,我们就可以这样定义自然数系了:存在一个自然数系 N, 称其元素为自然数,当且仅当这些元素满足公理 1-5。什么是加法? 我们定义,加法是满足以下两种规则的运算: 1. 对于任意自然数 m,0+m=m; 2. 对于任意自然数 m和n,S(n) +m=S(n +m) 。有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义,任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。如何证明一加一等于二? 至此,我们可以证明 1+1=2了: 1+1=S(0) +1(根据自然数的公理) =S(0 +1) (根据加法定义 2) =S(1) (根