文档介绍：物理极值之求法介休一中曹正奇利用三角函数求极值一、型将变形为,当时, 有极值。例1 某地区降雨量较大, 在设计屋顶时, 为使雨水尽快地流下, 屋顶的倾斜角应该是多大? 分析与解设屋顶的倾角为?,横梁的宽度为 L ,如图所示。则雨滴的位移大小为? cos 2 Ls?根据牛顿第二定律可知雨滴下滑的加速度为? sin ga?雨滴在屋顶上做初速度为零的匀加速直线运动 22 1ats?由以上三式可得下滑时间为?2 sin 2g Lt?可见当时,时间最短为 g Lt 2?例2 如图所示,为防止电线杆被电线拉倒,可用一拉线拉住电线杆, 问拉线如何设置可使拉线所受拉力最小? 分析与解设电线拉力大小为 F 1 ,离地高度为 L ,拉线长度为 l ,拉力大小为 F 2 ,拉线与水平面夹角为α,由力矩平衡条件有αL 0 sin cos 12???LFlF??整理可得拉线拉力大小为?2 sin 2 12??l LFF 可见当时, 拉力最小为 l LFF 1 min 22?例3 一个四分之一圆弧形物体置于粗糙的水平面上, 质量为 m 的小球从静止开始由顶端无摩擦滑下, 物体始终处于静止状态。试分析: 当小球运动到什么位置时,地面对物体的静摩擦力最大?最大静摩擦力为多少? 分析与解设圆弧半径为 R ,当小球运动到圆心小球连线与竖直方向夹角为?时,速度为 v , 由机械能守恒定律有? cos 2 1 2 mgR mv ?由牛顿第二定律沿半径方向有 R vm mg F 2 cos ???对物体,由平衡条件在水平方向有 0 sin ???Ff 由以上各式可得地面对物体的静摩擦力为?2 sin 2 3 mg f?可见当时,静摩擦力最大为 mg f m2 3?。例4 重力是由于地球吸引而使物体受到的力,吸引力的方向指向地心, 重力的方向竖直向下, 试分析竖直向下的方向与指向地心方向的最大夹角。分析与解设地球为一质量分布均匀的球体,其质量为 M ,半径为 R, 自转的角速度为ω, 一个物体质量为 m, 处于纬度为θ的地球表面。如图所 oα F mg α l F 2L F 1 示。根据万有引力定律可知,物体受到的万有引力为 2R Mm GF?方向指向地心由牛顿第二定律知物体随着地球的自转做匀速圆周运动的向心力为?? cos 2Rmf?(1) 这个向心力是万有引力的一个分力,方向指向圆周轨道的圆心。物体所受的重力为 mg W?(2) 方向竖直向下。由图可知有?? sin sin fW?(3) 由( 1)、(2)、(3 )有???2 sin 2 sin 2g R?由上式可知, 在南(北)纬045 ??处, 竖直向下的方向与指向地心的方向有最大的夹角,大小为 g R2 arcsin 2 max???。将s rad 510 27 .7 ????、mR 610 ??、 kgNg10 ?代入并解可得 rad 0017 .0 max??6 ??二、型因为ωfmW FO Rθ, 可见,当 b a arctan ??时, y的极大值为。例5 物体放置在水平地面上, 物体与地面之间的动摩擦因数为?, 物体重为 G ,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力 F 为多大? 分析与解物体受力如图 1 所示, 设拉力 F 与水平方向的夹角为θ,根据题意可列平衡方程式,即……(1) …(2) 由滑动摩擦定律有…………(3) 联解( 1)(2)(3 )可得: , 其中?? 1 tan ?, 可见当?? arctan ?时,拉力的最小值为例6A 船从港口 P 出发,拦截正以速度 0v 沿直线 MN 航行的 B 船, P 与B 船所在航线的垂直距离为 a ,A 船起航时,B 船与 P 点的距离为 b , NFfG θ图1 且?? ab?,如图 1 所示。如果略去 A 船起动时的加速过程,认为它一起航就作匀速运动,求 A 船能拦到 B 船所需的最小速率。分析与解设两船相遇于 H 点(见图 2),Av 与 PN 间的夹角为, 则A 船的位移? cos as A?B 船的位移? tan 22aabs B???因时间相等,故有 0vvss ABA?整理化简以上各式后有??????????? sin sin cos 0 22 0b av aab av v A 其中b a os ??α B M NPA b a v 0图2 H B M NPA b a v 0图1 可见当 b ab a arcsin os 22 ?????????即当 A 船速度方向与 MP 垂直时有最小值 bav v A0 min?例7 一条长度为 L 的细线, 上端固定在 O点, 下端系着一个质量为 m、带电量为+q 的小球, 将它们置于一个足够大的匀强电场中, 电场强度为 E, 方向水平向右, 把细线拉直并处于竖直位置, 然后将小