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二次函数之最短路径问题
例1.(广东)二次函数y=x2-2mx+m2-1．
〔1〕当二次函数的图象经过坐标原点O〔0，0〕时，求二次函数的解析式；
〔2〕如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？假设P点存在，求出P点的坐标；假设P点不存在，请说明理由．
例2.〔甘肃兰州〕如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)假设把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
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，抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A〔﹣1，0〕，C〔2，3〕两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
〔1〕抛物线及直线AC的函数关系式；
〔2〕设点M〔3，m〕，求使MN+MD的值最小时m的值；
〔3〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由；
〔4〕假设P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
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例4.〔湖南郴州〕抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕、C〔0，2〕三点．
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
〔3〕如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？假设存在，请求出点G的坐标；假设不存在，请说明理由．
例5.〔辽宁〕如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
〔1〕求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
〔2〕在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，假设存在，直接写出点坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．
A
O
x
y
B
F
C
图16
A
O
x
y
B
F
C
图16
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例6.(山西)综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
〔1〕求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
〔2〕点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．
〔3〕请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
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，在矩形OABC中，A、C两点的坐标分别为A〔4，0〕、C〔0，2〕，D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点〔不与点O重合〕．
〔1〕试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
〔2〕当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
〔3〕设点E是〔2〕中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
〔4〕设点N是矩形OABC的对称中