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导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念
1.导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f〔x+〕-f〔x〕,比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数,记作f’〔x〕或y’|。
即f’〔x〕==。
说明:
〔1〕函数f〔x〕在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。
〔2〕是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤:
① 求函数的增量=f〔x+〕-f〔x〕;
② 求平均变化率=;
③ 取极限,得导数f’(x)=。
例:设f(x)= x|x|, 那么f′( 0)= .
[解析]:∵ ∴f′( 0)=0
2.导数的几何意义
函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x,f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f〔x〕在点p〔x,f〔x〕〕处的切线的斜率是f’〔x〕。
.
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相应地,切线方程为y-y=f/〔x〕〔x-x〕。
例:在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析]:切线的斜率为
又切线的倾斜角小于,即
故
解得:
故没有坐标为整数的点
如果物体运动的规律是s=s〔t〕,那么该物体在时刻t的瞬间速度v=〔t〕。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v〔t〕,那么该物体在时刻t的加速度a=v′〔t〕。
例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是〔 〕
s
t
O
A.
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B.
C.
D.
答:A。
练****质点M按规律做直线运动〔位移单位:cm,时间单位:s〕。
当t=2,时,求;
当t=2,时,求;
求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案:;〔3〕8
二、导数的运算
1.根本函数的导数公式:
①〔C为常数〕
.
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②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例1:以下求导运算正确的选项是 ( )
A.(x+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′=-2xsinx
例2:设f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x) = fn′(x),n∈N,那么f2005(x)= ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
2.导数的运算法那么
法那么1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两