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第六章样本及抽样分布
1.[一] 在总体N（52，）中随机抽一容量为36的样本，。
解：
2.[二] 在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5.
（1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}.
（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)>10}.
解：（1）
=
（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15}
=
（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10}
=
4.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，）的一个样本，求
解：
7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，求E (), D (), E (S 2 ).
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解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，
∴E ()=E (X )= λ, D ()=
[六] 设总体X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本。
（1）求的分布律；
（2）求的分布律；
（3）求E (), D (), E (S 2 ).
解：（1）（X1，…，Xn）的分布律为
=
（2）
(由第三章****题26[二十七]知)
（3）E ()=E (X )=P，

[八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本。
（1）写出X1，…，X10的联合概率密度（2）写出的概率密度。
解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为

（2）由第六章定理一知
～
即的概率密度为
第七章参数估计
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1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）

求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。
解：μ，σ2的矩估计是
。
2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）其中θ>0，θ为未知参数。
（5）为未知参数。
解：（1），得
（2）
（5）E (X) = mp 令mp = ，解得
3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数
（解唯一故为极大似然估计量）
（2）
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。(解唯一)故为极大似然估计量。
（5），
解得，（解唯一）故为极大似然估计量。
4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。
解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=为矩估计量。
（2）极大似然估计，
为极大似然估计量。
（其中
5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
0
1
2
3