文档介绍:矩阵分析
主讲教师:魏丰
2021/3/11
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第三章 内积空间,正规矩阵与H-阵
定义: 设 是实数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为 与 的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
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这里 是 中任意向量, 为任意实数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。
例 1 在 中,对于
规定
容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个欧氏空间。如果规定
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容易验证 也是 上的一个内积
,这样 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 维线性空间 中,规定
容易验证这是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中,规定
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容易验证 是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义: 设 是复数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为 与
的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
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这里 是 中任意向量, 为任意复数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 是 维复向量空间,任取
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规定
容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个酉空间。
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,定义
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容易验证 是 上的一个内积,于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中,规定
其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证 是 上的一个内积,从而 连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质:
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欧氏空间的性质:
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酉空间的性质:
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