Jensen不等式的直观解释.pdf

文档介绍：门 予等 概辛
不等式 的直观解 释
一 ‘，乙 ．，丁
黄乐 ／
“该定理是如此基本 ，以致我们打算给 出一 串不 同程度 的简单和普遍 的证 明．”：
和 是这样 说算术几何平 均值定理 的．确 实，他们说到做到 ，他 们给出
种 不 同的证 明，即对非 负的 ，有
型 旦 ，
又等式 成立 当且仅 当 一 一 ．对本 结果 在初等几何上 的优美应用 适 用于课
堂教学，可参看 【】．
的一个最 简单证 明，在于把它看成 不等 式的一特殊情形 ．这个广 泛使 用
的结果 例如 ，在概率论 】是说 ，如果实连续 函数 ，的 图象 是 下 凹的，那 么
，
等式成立 当且仅当 全 部相等 ．如果该 图象 是上 凹的 ，该不等 式是反 向的．为得到 ，
我 们只须令 ，，这时 ，的 图象是 下凹的．这种证 明方法很 简洁 ，但 从 哪
里来 本文描述 一种特别 简单的方法来 “明白”这个事 实，我们希望它有教 学价值 ．事
实上，我们相信 甚至在高中也能成功地讲 授． ‘
我们并 没有给 出图象为 “下 凹”的