文档介绍：****题七
(72, p), n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p 的矩法估计.
【解】E(X) = @，顼X) = 4 =又因此np=X
所以p的矩估计量
M (。- x), 0 < x < 0, E，")=俨'
0,
其他
Xi，X2，…，x〃为其样本，试求参数。的矩法估计.
/ 2 3
.r x
I 2 3
【解】E(X) =
2 x(0 - x)dx =—
— e —
令 X ,因此-=X
所以〃的矩估计量为
(x,
Q = 3X.
。)，X1，X2，…，，求。的极大似然估计.
ee6x,
x>0,
o,
x< 0.
0xe~',
0 < x < 1,
0,
其他
(1 ) f (.¥,")=<
n
(2) f (x, 。2 =<
n 一°£玉.
【解】(1)似然函数L = Y[= enY[eeXi = 0"e-ee -
Z=1 Z=1
g = In L = n]n0-0^ixi
，=1
dg dlnL n
由—= =――> 改=0知
dO d0 。台
Z=1
A 1
所以〃的极大似然估计量为e ==
x
(2)似然函数 L - On xf-1,0 < < 1 ,z= 1,2,••-,n,
i=l
InL = ?zln^ + (^-l)ln]^[x;.
i=l
dln£ n -A"
P 希+mp%=° 知
〃 _ n
Infix, Z?nx,
i-1 z=l
a n
所以。的极大似然估计量为 e=-—!—
E i=l
，结果如下:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
收益率
-
-
-
-
-
-
-
-
求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.
【解】 x = - 5 = n = 9
EX=x= -.
n
由 E(X2) = D(X) + [E(X)]2,E(X2) = a = 知 a2 +[顼文)]2 = A，即有
-i=i n -
tr = jA2-[E(X)]2 +
于是
l-^s = a/( =
所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-.
随机变量X服从［0,。］上的均匀分布，今得X的样本观测值:,,,,,,, 求。的矩法估计和极大似然估计，它们是否为。的无偏估计.
0 —
【解】(1) E(X) = &，令 E(X) = X,贝U
0 = 2X 且 E(&) = 2E(X) = 2E(X) = 0,
所以«的矩估计值为》=2元= = = 2X是一个无偏估计.
(2)似然函数£ = IJ/(x;.,6') = ^j >1,2,-,8.
显然匕=L( ") I (。>0),那么 6 = max{x}时，L=L( 9)最大， l<z<8
所以。的极大似然估计值° =.
因为E(^)=E(max{xJ )2 "，所以^ = max{x.}不是"的无偏计. 1</<8 1<?<8
n—1
设 X|, X2,…， X 的样本，E(X) = 〃，D (X) = ^2, a2 =k^(Xi+1 - Xf)2. i=\
问k为何值时a2为『的无偏估计.
【解】令 r = X,+i-X,.”=l,2,・・・,*l,
贝!J 顼 M)=顼 X*) - Eg)= 〃 -日=0,叫)=2",
n-l
于是 Ea2 = E 伙(£匕2)] = r(〃_i)e 约 2 = 2a\n-l)k,
Z = 1
那么当E(S) = S,即2〃(刀—1忱=〃时，
有 k =——-——.
2(〃-1)
设X|, X?是从正态总体N(〃，严)中抽取的样本
2 1 1 3 1 1
A=-X1+-X2； a=-x1+-x2； a=-x1+-x2；
试证角,02,03都是〃的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.
(? 1、2 1 2 1
【证明】(1) E^) = El jXj +-X2I = — £(%!)+