文档介绍：第一章解三角形
一 .正弦定理：
1 .正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外
接圆的直径，即 = 上=里_ = 2 R （其中R是三角形外接圆的半径） s i nA s i nB s i nC
a +b +c a b c
sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C
2 ）化边为角：a : b : c = sin A : sin B : sin C ；
a s i nA b
= , b s i nB c
3） 化边为角：a =2 Rsin A,
sin A a
4） 化角为边： =-;
sin B b
a
5） 化角为边：sin A =一，
2R
sin B a sin A — ， — ，
sin C c sin C
b = 2 R sin B , c = 2 R sin C
s i nB b s i nA a
—= ， = ，
s i nC c s i nC c
b c
sin B = , sin C =
2R 2R
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；
例：已知角B,C,a，
a sin A b sin B
解法：由 A+B+C=180。，求角 A,由正弦定理一=——;一=——
b sin B c sin C
-=—;求出b与c
c sin C
已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,
a sin A
解法：由正弦定理-=一求出角B,由A+B+CT80。求出角C，再使
b sin B
用正弦定理-=四*求出C边
c sin C
，已知锐角A，边b，则
宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来
宝安数学老师瞿老师
b'sin A1591 乍355718
QQ:1838471850
a v b sin A时，B无解；
a =bsin A或a 2时，B有一个解； 、、、、
一 **.
b sin A < a < b时，B有两个解。
如：①已知A = 60 Q a =2,b =2^^B （有一个解）
②已知A = 60 Q b = 2 ,a = 2,求B （有两个解）
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
三角形面积
1 1 1
I ■ s ABC = _ ab sin C = _ be sin A = _ ac sin B
△ 一 2 一 2 ~ 2
1
2. S abc =_（a+b+c）r,其中r是三角形内切圆半径.
SABC
_a)(p _b)( p _c),其中 p = (a+b+c),
2
=些,R为外接圆半径
5. S^BC =2 R 2 sin Asin B sin C ,R 为外接圆半径
余弦定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的2倍，即
+ c —2 be cos A
+ c — 2 ac cos B
—2 ab cos C
：cos A = b +C 一a
2 be
2 2 2
- a +c _b cos B =
2ac
2 2 2
a +b