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第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有
(为的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；③；
3、三角形面积公式：．
4、余弦定理：在中，有，推论：
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基础练****br/>一 选择题
1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，
即B＝60°，故选C.
答案：C
△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
解析：利用正弦定理解三角形．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝2.
答案：B
3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( )
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，
得6k＝180°，k＝30°，∴A＝30°，B＝60° ，C＝90°，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
C
答案：C
4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a， B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
解析：∵＝，∴sin A＝，∵△ABC是钝角三角形，∴A＝.
答案：D
5．在△ABC中，如果B＝31°，a＝20，b＝10，则此三角形( )
A．有两解 B．有一解
C．无解 D．有无穷多解
解析：∵asin B＞b，∴无解．
答案：C
6．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为( )
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.
∵b＞0，∴b＝.
答案：B
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7．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：
cos C＝＝－＜0，
所以C为钝角，故选C.
答案：C
8．在△ABC中，有下列结论：
①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；
③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①cos A＝＜0，∴A为钝角，正确；
②cos A＝＝－，∴A＝120°，错误；
③cos C＝＞0，∴C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；
④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．故选A.
答案：A
9．在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，
所以c＝3，因为b＞a＞c，所以角B最大，
cos B＝＝－，故选C.
答案：C
10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：由余弦定理得：cos ∠CAB＝＝，所以·＝3×2×＝.
答案：D
11．已知在△ABC中，＝，则此三角形为( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由＝知＝，化简得b＝c.
答案：C
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12．在△ABC中，若＝，则角B的值为( )
A．