文档介绍：1一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比而反 向，即a = -kv2,其中，常量k>0,若关闭发动机时汽船的速度为V。，求：(1)关闭发动 机后t时刻的汽船速度；(2)关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。
解：以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向 坐标原点0选择在刚关闭发动机的位置处。
按直线运动的加速度公式，即：a=—
dt
山题设a = -kv-,代入公式，成为：-济=史，将其分离变量，得：kdt = ~ dt v2
已知t=0时，v = Vo ,并设t时刻的速度为v,则对上式取定积分，
有：砰物=「-马
Jo Jy。v kvQt + l
山：1，=虫 有：四=里」 变量分离，整理得：dx = ^^dt
dt dt kvQt + \ + X
两边取定积分，有：\Xdx=\'里「次
J。 J。+1
山此得汽船的运动方程为：x = -ln(^vor + l)
k
由上式可求出汽船在t时间内行驶的距离：
—| x — Xg |= ~ +1) — 0 — — +1)
2—质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为q=3"S「2求：(1)经 过多少时间它的总加速度a恰好与半径成45°角？ (2)在上述时间内，质点所经过的路程 和角位移各为多少？
解：已知a = — = 3 ,山此可求出瞬时速率。山dv = 3dt和初始条件：t=0时，v0 = 0得 dt
v = I* dv ={ 3dt = 3t 所以质点的瞬时速率v=3t
Jo J o
质点的法向加速度的大小为：ci = — = 一 = 3t2 (方向：指向圆心)
R 3
这样总加速度为：a = at +an = 3f + 3fn
其中n为沿半径指向圆心的单位矢量，t为切向单位矢量。
a sin a = at
图1—
（1）设总加速度与半径夹角为a ,则有：a cos a = an
当 a =45° 时，有 a, = an,
即要求：3t2=3, t=ls （另一负根舍去）
所以t=ls时，总加速度a与半径成45°角。
d 3
(2)由—=v ,和初始条件：t=0 时，So =0 ,得：s = |" vdt = \3tdt = —1~ dt J J 2
将t=ls代入，求出这段时间内的路程：
Si =一厂 Lt = — x I2 = 角位移 0 = 一
1 2 I 2 R
s 1 5
当 t=ls 时 = (rad)
3如图一质量m,半径为R的圆柱，可绕固定的水平轴。。'自山转动。今有一质量为m,速 度为V。的子弹，水平射入静止的圆柱下部（近似看作在圆柱边缘），旦停留在圆柱 内，（节。±。8）.求：
（1） 子弹与圆柱的角速度。
该系统的机械能的损失。
2,解：（1） 了弹与圆柱发生完全非弹性碰撞，设了弹与圆柱碰后角速度为（9。
,/ mv0R = (—MR2 + mR')a>
-MR2 +mR'
2
(2)损失的机械能：
AE = —mvn~ - — Ico~ 其中 I = —MR2 + mR~ 2 2 2
AE = |mv02 -|(|w2 +m7?2)®2
4长为/,质量为皿的细棒，可绕垂直