文档介绍：1
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导数及其应用
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一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
① 求函数的增量=f（x+）－f（x）；
② 求平均变化率=；
③ 取极限，得导数f’(x)=。
例：设f(x)= x|x|, 则f′( 0)=_______ .
[解析]：∵ ∴f′( 0)=0
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。
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相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析]：切线的斜率为
又切线的倾斜角小于，即
故
解得：
故没有坐标为整数的点
如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。
例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．
答：A。
练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。
当t=2，时，求；
当t=2，时，求；
求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案：（1）（2）；（3）8
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①（C为常数）
②
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③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例：下列求导运算正确的是 ( )
A．(x+ B．(log2x)′=
C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx
[解析]：A错，∵(x+
B正确，∵(log2x)′=
C错，∵(3x)′=3xln3
D错，∵(x2cosx)′=2xcosx+ x2(-sinx)
例：设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ ( )
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
[解析]：f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)= -sinx，
f3(x)＝f2′(x)= -cosx， f4(x) ＝ f3′(x)=sinx，循环了
则f2005(x)＝f1(x)＝cosx
2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。
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例：设f(x