数值分析代数插值.ppt

文档介绍：第5章 插值与逼近( Interpolation And Approximating )
我们知道，许多实际问题都可用函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系，但在很多应用领域，往往只能通过实验或观测等手段得到 y=f(x) 在某 [a,b] 区间上的有限个互异点 xi 处对应的函数值 yi=f(xi)，(i=1,2,…,n)，也即已知一个函数表。为了研究函数的变化规律，必须将其公式化，因此，我们希望根据给定的数据表作一个既能反映函数 f(x) 的特性、又便于计算的简单函数 p(x) 来近似 f(x)，如果要求 p(xi)=f(xi) (i=1,2,…,n)，这就是最基本的插值问题。p(x) 称为插值函数，插值函数的选择，取决于使用上的需要，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是区间上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。
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例如：在现代***中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi,yi) (i=1,2,…,n)，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线及其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。
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 插 值 问 题 实 例 1
标准正态分布函数 (x)
求()
()= ()=
查 函 数 表
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 插 值 问 题 实 例 2
机械加工









x
y
机翼下轮廓线
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已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度(M) 466 741 950 1422 1634
水温(oC)
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
 插 值 问 题 实 例 3
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拉格朗日插值
牛顿插值
Hermite插值
一 维 插 值
一、插值的定义
二、插值的方法
样条插值
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二 维 插 值
一、二维插值定义
二、网格节点插值法
最邻近插值
分片线性插值
双线性插值
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一元函数插值
定义 设有m 1个互异的实数 x0, x1, …, xm 和
n 1个实值函数 0x,1x, , nx,其中,n m. 若向量组
k= kx0,kx1, , kxmT , k = 0,1, , n.
线性无关,则称函数组kx在点集xi上线性无关; 否则叫kx线性相关.
代数插值
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例子 函数组 2+x, 1x, xx2 在点集1,2,3,4上线性无关. 因为
1=1x0,1x1, , 1xmT =  2+1, 2+2, 2+3, 2+4T
2=2x0,2x1, , 2xmT =  11, 12, 13, 14T
3=3x0,3x1, , 3xmT =  1+1, 2+4, 3+9, 4+16T

而
依定义知上函数组是线性无关的.
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已知 n+1个节点
其中
互不相同，不妨设
求任一插值点
处的插值






一 维 插 值
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