矩阵及其运算：2、矩阵的运算.pdf

文档介绍：一、矩阵的加法
１、定义
设有两个 × 矩阵 那末矩阵
m n A = (aij ), B = (bij ),
A 与 B 的和记作A + B，规定为
 a + b a + b  a + b 
 11 11 12 12 1n 1n 
 a21 + b21 a22 + b22  a2n + b2n 
A + B =
     
 
 am1 + bm1 am 2 + bm 2  amn + bmn 
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进
行加法运算.
12 3 − 5  1 8 9
   
例如  1 − 9 0  +  6 5 4
   
 3 6 8   3 2 1
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 13 11 4
   
=  1+ 6 − 9 + 5 0 + 4  =  7 − 4 4.
   
 3 + 3 6 + 2 8 + 1   6 8 9
2、 矩阵加法的运算规律
(1) A + B = B + A;
(2) (A + B)+ C = A + (B + C ).
 − a − a  − a 
 11 12 1n 
 − a21 − a22  − a2n 
(3) − A = = (− aij ),
     
 
 − am1 − am1  − amn 
称为矩阵A的负矩阵.
(4) A + (− A) = 0, A − B = A + (− B).
二、数与矩阵相乘
1、定义
数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为
 λa λa  λa 
 11 12 1n 
 λa λa  λa n 
λA = Aλ = 21 22 2 .
     
 
 λam1 λam1  λamn 
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m × n 矩阵，λ ,µ为数）
(1) (λµ )A = λ(µA);
(2) (λ + µ )A = λA + µA;
(3) λ(A + B) = λA + λB.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线
性运算.
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A = (aij )是一个m × s 矩阵，B = (bij )是一个
s × n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个 × 矩阵 ，其中
m n C = (cij )
s
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j ++ aisbsj = ∑ aik bkj
k=1
(i = 1,2,m; j = 1,2,,n),
并把此乘积记作 C = AB.
例１
 − 2 4   2 4  − − 
C =     = 16 32
− − − ?
 1 22×2  3 62×2 8 162×2
例2 设
 0 3 4 
 1