文档介绍：第五章 大数定律与中心极限定理
、认识依概率收敛的定义，了解大数定律的一般含义，掌握切 比雪夫大数定律、贝努利大数定律和辛钦大数定律；
、了解中心极限定理的一般结论，会用独立同分布中心极限定 理和De Moivre-Laplace定理解题。
1、按概率收敛的概念
若对于任何正数£,当〃 —8时，事件IX〃-Ql<£的概率
趋向 1,即： limRix”-。1<研=1 H—>C0
。.
2、 伯努利大数定理
在独立重复试验序列中，当试验次数无限增加时，事件4的 频率按概率收敛于事件A的概率.
limF｛成-pE = i "Too
3、 辛钦大数定律
设独立随机变量X],X2，...X“...服从同一分布，并且有数学期望4 , 则X|,X2，...X“ 的算术平均值丸，当时，按概率收敛于〃， 即对于任何正数£ ,
limF｛氐*&｝ = 1
"Too
4、德莫弗-拉普拉斯定理
设％ ~ b(n, p)，则对于任意X有:
. lima5 =中⑴
H—>00 J"(l-p)
近似公式
在上述定理条件下，当〃充分大时，落在(a,。)之间的
概率:与『占J
加(1-―)P)j"(i-―)
_ , b-np 、 , . a-np 、
« 中(/ )-中(/ )
J 叩(1-p) J 叩(1-p)
注：此定理实际上说明了当〃充分大时，二项分布b(n,p)逼近
正态分布 N(np, np(l- p))
5、独立同分布中心极限定理
设独立随机变量X|,X2，...X〃...服从同一分布，并且有数学期望〃，
方差蛆，则X|,X2，...X„的和支Xk,有： k=l
X X&-"
limP{ —— <x} = O(x)
m—>oo v MO"
第六章样本及抽样分布
一、 理解总体、样本和统计量的概念，掌握简单随机样本的性质, 掌握样本均值、样本方差和样本矩的定义，了解经验分布函 数；
二、 掌握，2分布、t分布、F分布的构成，了解分布的性质，掌 握分位数的概念,性质和查表，理解并熟记抽样分布定理的内 容。
、简单随机样本：X],X2，・・・X“独立同分布.
若将样本看作一个n维随机变量(X|,X2，...X„),则
当总体X是离散型随机变量，且概率分布律为P{X=x}时,
(X], X2, • • • X.)的联合分布律为：
F{X] = xr,X2 = x2,---Xn = xn)
= P{Xx=xx}P{X2=x2Y--P{Xn=xK}
= P{X =xJP{X ="¥{X F
当总体x是连型随机变量，且概率密度为f(x)时，
(xpx2,•••%„)的联合密度为：
二、常用统计量(样本数字特征)：
1 〃 _
(2)样本方差^2=—
n~l ,=i
]n
⑶ 样本k阶原点矩& = —Zxf / =1,2，…, n ；=1
1 « _
(4)样本 k 阶中心矩乱=—2(X,-XV,k = 2,3...
n(=i
三、抽样分布
(一)/分布
1、 构成：设随机变量Xj,X2,---Xw相互独立，且均服从标准正态 分布N(O,1),则称随机变量/ = X： + X?2 + . . . + X；服从自由度为 〃的/分布，记为/(〃)
例如，X〜N(O,1)时，X2~Z2⑴；
X与K独立且均服从标准正态分布，x2+y2~z2(2)
2、 /分布具有可加性：
若随机变量X与K独立，且X〜/(初)，K〜/2(")，则
X + Y - /2(m + n)
3 若 X 〜/2(初)，则 E(X)=m,D(X) = 2zn
4、对不同的自由度〃及不同的数 '用
«(0 < a < 1), X〜/(〃)可查表得到满足
P{X >z; («)} = «的的值，称为/(〃)分布的上a /
分位点(图2)。
(二)、*分布
1、构成：若随机变量X与丫独立，且X〜N(O,1),K〜，2(〃)
则随机变量t = ^=
为自由度为〃的t分布，记作@)
2、性质：*分布的分布曲线关于y轴对称，且当自由度#无限
增大时，*分布将趋近于标准正态分布WQD.
3,上a分位点： 上强")=-L(")
(三)、E分布
1、构成：若随机变量X与K独立，且X〜如）,—/（〃），则随
X/
机变量为自由度为（m,n）的T7分布，记作F（m,n）.
…1
2、性质：（1）若 F ~ F（fn,n）,则；~尸（〃,彻）
F
（2）"心土
上。分位点
四、正态总体的样本均值与样本方差的分布
i n _2
定理1设总体X ~N(〃,b2)则样本均值X = 一〜N("