文档介绍：第 5 讲正交小波构造
正交小波概述
由 h
(n)
递推求解
(t) 的方法。
0
消失矩、规则性及支撑范围
Daubechies 正交小波构造
接近于对称的正交小波及 Coiflet 小波
我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间 V0 中存
在正交归一基 { (t k ), k Z} ，由 (t) 作尺度伸缩及位移所产生的 {
j ,k ( t), j , k Z} 是V j 中的正
交归一基。 (t ) 是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定
V j 的正
交补空间 W j 中也存在正交归一基 { j ,k (t ), j , k Z} ，它即是小波基，
(t ) 为小波函数，又称
“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波 (t ) 。所谓“正交小波”，指
的是由 ( t) 生成的 { (t k ), k Z} ，或 W j 空间中的正交归一基 { j ,k (t ), j , k Z} 。Daubechies
在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的
理论为基础的。
1
正交小波概述
现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求 , 一是 Haar
小波，二是 Shannon小波。
小波
我们在 4..1 节中已给出 Haar小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数 (t ) 。重写其定义，即
1
0 t 1/ 2
(t) 1
0

1/ 2 t 1 ()
其它
(t)
1
0
0
t 1
()
其它
显然 ,
(t) 的整数位移互相之间没有重叠，所以
(t
k ), (t k ' )(k k ' ) ，即它们是正交
的。同理，
j ,k
(t ), j ,k '
( t)
( k
k' ) 。
很容易推出
(t ) 和 (t ) 的傅里叶变换是
(
)
je
j
/ 2 sin2
/ 4
/ 4
(
)
e
j
/ 2 sin
/ 2
/ 2
注意式中
实际上应为
。由于 Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好
2
的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功
能极差，或者说频域的分辨率极差。
上一章指出， Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：
h0 (n)
1
, 1
， h1 (n)
1 ,
1
()
2
2
2
2
它们是最简单的两系数滤波器。
小波
令
(t)
sin
t
t
()
(
1
则
)
其它
0
()
由于
( t
k ),
(t k ' )
1
0,k (
) *
0 ,k'
( ) d
2
1
e j( k
k' )
d
( k k' )
()
2
所以 (t k ), k
Z 构成 V0 中的正交归一基。
(t ) 称为 Shannon小波的尺度函数。
由于 0,k (t )
V0 ，V0
W0
V 1 ，由二尺度性质，
(2t
k ) V1 ，因此
1,