复变函数课件复变函数保形映射.ppt

文档介绍：复变函数课件复变函数保形映射
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第一页，共73页
z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), atb表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数. 如果z '(t0)0,a<t0<b, 则表示z '(t)的向量(把起点放取在z0. 以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).
z(t0)
z(a)
z(b)
z '(t0)
§1 保形映射的概念
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第二页，共73页
事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向, 则这个方向与表示
的方向相同.
O
x
y
z(t0)
P0
P
z(t0+Dt)
C
(z)
当点P沿C无限趋向于点P0, 割线P0P的极限位置就是C
上P0处的切线. 因此, 表示
的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正向一致.
z '(t0)
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第三页，共73页
我们有
Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;
相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角
O
x
(z)
z0
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第四页，共73页
设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), atb,且z0=z(t0), z '(t0)0, a<t0<b. 映射w=f (z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f (z0)的一条有向光滑曲线G : w=f [z(t)], atb .
O
x
y
O
u
v
z0
P0
r
z
P
Dz
C
(z)
(w)
G
w0
Q0
Q
w
r
Dw
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第五页，共73页
根据复合函数求导法, 有w '(t0)=f '(z0)z '(t0)0.因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的夹角是Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).
若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f (z)映射后在z0处的转动角, 则1)导数f '(z0)0的辐角Arg f '(z0)是曲线C经过w=f (z)映射 后在z0处的转动角;
O
x
y
O
u
v
z0
P0
r
z
P
Dz
C
(z)
(w)
G
w0
Q0
Q
w
r
Dw
即Arg f '(z0)= Arg w '(t0)-Arg z '(t0)
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第六页，共73页
2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性.
通过z0点的可能的曲线有无限多条, 其中的每一条都具有这样的性质, 即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f '(z0).
O
x
y
O
u
v
(z)
(w)
z0
w0
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第七页，共73页
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, .
y
a
O
x
O
u
v
(z)
(w)
z0
w0
a
C1
C2
G1
G2
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第八页，共73页
称为曲线C在z0的伸缩率.
3)
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比
值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸
缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有
伸缩率不变性.
上式可视为
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第九页，共73页
例1 求w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 处 的导数值,并说明几何意义。
解： w= f(z)=z3在全平面解析， f '(z)=3 z2。
在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。
伸缩率为3，旋转角为 。
定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且
f '(z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质:1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所
得两曲线间的夹角在大小和方向