文档介绍：§ 6. 哈密顿正则方程引言:哈密顿正则方程是与拉氏方程: 0?????? aaq Lq Ldt d?等价的动力学方程。 sq Lq Ldt d aa,.... 2,10????????,这组拉氏方程是 s 个关于广义坐标 aq 的二阶常微分方程。在这组拉氏方程中的拉氏函数 L 它是广义坐标 q ,广义速度 q ?以及时间 t 的函数: ),,(tqqLL ??。如果我们把拉氏函数中的广义速度 aq ?变换成→广义动量?p ,即),,(tpqLL?那么就可以将上面的 s 个拉氏方程①化成 2s 个一阶常微分方程,而且这 2s 个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性②具有一定的对称性。要想把拉氏函数: ),,(tqqLL ??变成是广义坐标、广义动量 P 及时间 t 的函数→),,(tpgLL?, 以及将 s个拉氏方程化成 2s 个一阶常微分方程。将会用到勒襄特变换这一数学工具。∴得先介绍一下: 一. 勒襄特变换(只作了解,不作要求,大纲不要求讲这部分内容) 现在先讨论两个变量的勒襄德变换,假设所给的函数是两个变量 x 1和x 2 的函数,即: ),( 21xxff?。则由高等数学的知识可得此函数的全微分:22 11dxx fdxx fdf??????在此我们令 1 1x fu???,2 2x fu???,[i ix fu???(i=1,2)] ……①并以 1u 和2u 为新的变量定义一个新函数 g:??????? 21 2211i iifuxuxfuxg ……②如果我们从变换方程①解出 ix ,使ix 是 iu 的函数,即)( iiiuxx?, 再代入上式②中去, 那么,g 就是只含新变量 iu 的函数了,即: ),( 21uugg?。我们先对②式两边进行微分, 则得: ?????????????????????????? 21 21 21 21)()( i iii ii iiii ii i iiiidu xdxx fudu xdxx fdxudu xdg 又∵将旧变量ix 换成新变量 iu 之后, 新函数 g 就是新变量 iu 的函数:),( 21uugg?那么对它微分就有: 22 11du u gdu u gdg??????……*′,将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系: 1 1u gx???,22 2du u gx???……③前面我们利用变换方程①把旧的变量 x 1 ,x 2 及旧的函数),( 21xxf 变为新的变量 21,uu 及新的函数),( 21uugg?的方法,就称为勒让德变换。我们从方程①结合方程③又可看出, 勒让德变换具有完全的对称性: 新变量就是旧函数对旧变量的偏导数, 而旧变量又恰好是新函数对新变量的偏导数。所以说勒让德变换具有很好的对称性。虽然,我们在前面是以两个变量的情况推出勒让德变换的,但是,由上面的推导结果, 我们很容易把勒让德变换推广到 n 个变量的情形,即 i iu gx???, (i=1,2,3 …… n) 。除此之外, 还可以对它再加以推广。如果在已知函数 f 中除了含有 ix 之外还含有与 ix ( i=1,2,3 …… n) 无关的独立变量 jy (j =1,2,3 …… k) 也就是假定 ff?(1x …nx ,1y …ky ) 。那么, 当进行勒让德变换时, 只须将 jy 看作为参数, 而不参与变换, 则上述的推导过程完全照旧, 当然此时函数 g 中含有 jy ,那么不难得到此情形下的变换方程为: i ix fu???,i iu gx???( i=1 ,2, …… n) 以及fuxg ni ii????1 ,由于此时的 g 函数通过 f 而含有 jy ,因此,由上面的*和*′式可以直接得到附加关系: jjy gy f??????( j=1 ,2, …… k) 。下面我们就通过这种推广后的勒让德变换来建立哈密顿正则方程。二. 正则方程: 1. 广义动量: 上次课我们在讨论循环积分的时候提到过广义动量的概念, 在分析力学中通常定义广义动量?p 等于拉氏函数 L 对广义速度?q ?的偏导数:??q Lp????。在开始的时候我就讲过,如果将拉氏函数中的广义速?q ?换成广义动量?p ,亦即将),,(),,(tpqLLtqqLL????, 那么就可将完整、保守系的拉氏方程化成 2s 个一阶常微分方程, 如此化得的 2s 个一阶常微分方程就是与拉氏方程等价的哈密顿正则方程, 所以现在我们先对拉氏函数作勒让德变换。在这里将?q ?作为进行变换的独立变量,相当于上面一般情形中的 x,而?q 及t 视为不参与变换的参量,它们相当于前面的 y, 于是就可引入??q tqqLp???),,( ?作为新的变量,这里的α=1,2 …… s 。那么,我们由这 s 个变换方程就可解得 s 个广义