文档介绍：数学分析知识点汇总
数学分析知识点汇总
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第一章实数集与函数
§1实数
授课章节:第一章实数集与函数--§１实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
（1）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具)
教学难点:实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授.（部分内容自学）
教学程序:
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，，从大家都较为熟悉的实数和函数开始。
[问题］为什么从“实数”开始．
答:《数学分析》研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
１、实数
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.
[问题］有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定:
对于正有限小数其中，记;对于正整数则记；对于负有限小数(包括负整数)，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号。０表示为
0＝
例: ；
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下,如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1)定义１给定两个非负实数,． 其中为非负整数，为整数，。若有,则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得,而,则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、,若按上述规定分别有或，则分别称为
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与（或）.
规定:任何非负实数大于任何负实数。
实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）。
定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，。
对于负实数,其位不足近似;位过剩近似.
注：实数的不足近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有。
命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似,为的位过剩近似)．
命题应用
例1．设为实数，，证明存在有理数,满足.
证明:由,知：存在非负整数n，使得。令，则r为有理数，且
。即。
３、实数常用性质(详见附录Ⅱ。)。
1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为０)仍是实数．
2)有序性:,关系，三者必居其一,也只居其一．
３）传递性:,．
4)阿基米德性：使得.
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5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6)一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．
，证明:若对任何正数，有,则。
(提示:反证法。利用“有序性”，取)
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数的绝对值的定义为.
2、几何意义
从数轴看，．
3、性质
1）(非负性）；
２)；
３），；
4）对任何有（三角不等式）；
5)；
６）(）．
三、几个重要不等式
１、
2、均值不等式:对记
（算术平均值）
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（几何平均值）
（调和平均值）
有平均值不等式：即：
等号当且仅当时成立。
３、Bernouｌli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证：由且
4、利用二项展开式得到的不等式：对由二项展开式
有 上式右端任何一项.
［练****Ｐ4．5
［课堂小结］:实数：．
[作业］P4．1。（１），２．（2)、（３），３
§2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数—-§２数集和确界原理
教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
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教学要求:
(１)掌握邻域的概念；
（２)理解实数确界的定义及确界原理，并在