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反函数
定义
一般地,设函数
y=f(x)(x
∈ A) 的值域是
C,若找得到一个函数
g(y) 在每一处
g(y) 都等于
x ,-1 -1 (x)y=f
(x) 。y=f y=f(x)(x
分别是函数 y=f(x)
∈ A) 的反函数,记作反函数这样的函数的值域、定义域。 (不求过深理解)
x= g(y)(y
∈ C)叫做函数的定义域、值域
引申
一般地, 如果 x 与 y 关于某种对应关系 f( x )相对应, y=f( x),则 y=f( x)的反函数
存在反函数 (默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
注意:上标╜ ???指的并不是幂。
(n)(x) 是用来指 f 的 f n 次微分的。 在微积分里,若一函数有反函数,此函数便称为可逆的
(invertible )。
- 1
为
y=f (x) 。
。
性质
(-1 x)图象关于直线 fy=x 对称;( 1)函数 (f x)与它的反函数
1 函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称
2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数
y=f(x)
,定义域是
{0}
且
f(x)=C
(其中
C 是常数),
则函数
f(x) 是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是
{C},
值域为
{0}
)。奇函数不一定存在反
函数,被与
y 轴垂直的直线截时能过
2 个及以上点即没有反函数。
若一个奇函数存在反函数,
则
它的反函数也是奇函数。
5)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;
6)反函数是相互的且具有唯一性;
7)定义域、值域相反,对应法则互逆(三反);
(8)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)
(9)反函数的导数关系:如果 x=f(y )在区间
(在有反函数的情况下,即满足( 2));
I 上单调,可导,且 f' ( y) ≠ 0,那么它的反函数
y=f' ( x) 在区间 S={x|x=f(y),y 属于
I }
内也可导,且
[f' ( x)]'=1\[f'
( x) ]' 。
(10 ) y=x 的反函数是它本身。
说明
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- 1(y) 中,y 是自变量, x 是函数, 但****惯上, 我们一般用⑴在函数
x=f x 表示自变量, 用 -1-1(x)y=f ,