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f R2
dxdy
Dyz
f R2
2R
dydz 二 I I
Dxz
f R2
2R
2 2
-x -z
dzdx ,
第四节 对面积的曲面积分
一、填空题
、',曲面上任一点（x, y,z）的面密度为 」（x, y,z），则曲面的质量
为 M =」（x,y,z）dS，对 x轴的转动惯量 lx 二（y2 • z2）」（x,y,z）dS. z z
= z（x, y）,它在xOy面上的投影区域为Dxy ,则
』f(x, y, z)dS f (x, y,z(x, y)) J +z：dxdy (写出计算公式)
为 Dxy
3•设曲面7为曲面z — x2 • y2被Z =1截下的曲面，则..dS二 _Jn.
4.(附加题)设 '■ ： x2 y2 z^ R2 (R 0)，则
,f (x2 y2 z2)dS 二..
二 Dxy
# / 3
# / 3
其中Dxy,Dyz, Dxz，分别为7在xoy, yoz,xoz面的投影.
、单项选择题
1.
为球面x2 y2 z^ R2 （R 0），则曲面积分
,..(x2 y2 z2)dS -
# / 3
# / 3
A. nR4 B . 2nR4 C . 4 冗R4 D . 6 kR4
提示： (x2 y2 z2)dS R2dS=4n4.
I Z
S : x2 y2 z2 = a2 z 一 0,a 0 ,
A. !ixdS=4iixdS B
S q
C. zdS= D
S S1
提示：被积函数f(x,y,z)二z在曲面上为正,
S是S在第一卦限中的部分，则有 C
I l ydS = 4「I xdS
S ◎
!!xyzdS 二 4 !!xyzdS
S Sj
积分曲面关于 xoy面及yoz面对称，故
zdS=4 zdS=4 xdS (轮换对称性)，其它类似可得
S S1 S1
三、计算题
1.
4 x
x y - z)dS , ' 是平面一
3 2
M^1在第一卦限的部分.
解：如图 11-5 : z =4 - 2x -丝
3
dS =」1+(-2)2 + ]-4 I dxdy ,
\ I 3丿
_ x y D ・-
xy -
2 3
< 1, x_O,y_O
+ 61
3
y
x^2
2. LLf(x2+y2 +z2)dS，为是锥面z = Jx2+y2与平面z=1所围成立体的表面.
解：如图 11-6 由' ：:z = ；x2 • y2,0 乞 z^1 与2：z=1, x2 • y2 乞 1 围成,
H(x2