文档介绍：离散数学群与半群
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本章内容
半群与独异点
群的定义与性质
子群
陪集与拉格朗日定理
正规子群与商群
群的同态与同构
循环群与置换群
本章总结
例题选讲
作业
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半群与独异点
半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。
半群与独异点的定义，及其子代数的说明。
半群与独异点的幂运算。
半群与独异点的同态映射。
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半群与独异点
(1)设V＝<S,>是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。
(2)设V＝<S,>是半群,若e∈S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点（monoid）。
有时也将独异点V记作V＝<S，，e>。
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半群与独异点的实例
<Z+,+>，<N,+>，<Z,+>，<Q,+>，<R,+>都是半群,+是普通加法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。
设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
<P(B),>为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算。
<Zn,>为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},为模n加法。
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半群中元素的幂
由于半群V＝<S,>中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x∈S,规定：
x1＝x
xn+1＝xn x, n∈Z+
    用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：
xn xm＝xn+m
(xn)m＝xnm m,n∈Z+
普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。
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独异点中的幂
独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。
由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x的零次幂,即
x0＝e
xn+1＝xn x n∈N
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半群与独异点的直积
设V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或独异点),
令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下：
<a,b>,<c,d>∈S,
          <a,b><c,d>＝<ac,b*d>
称<S,>为V1和V2的直积，记作V1×V2。
可以证明V1×V2是半群。
若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则<e1,e2>是V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。
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半群与独异点的同态映射
(1)设V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,: S1→S2。
若对任意的x,y∈S1有
(xy)＝(x)(y)
则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。
(2)设V1＝<S1 ,,e1>,V2＝<S2 ,,e2>是独异点, : S1→S2.
若对任意的x,y∈S1有
(xy)＝(x)(y) 且(e1)＝e2,
则称为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。
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两点说明：
为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符和，而简记为
(xy)＝(x)(y)
应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右边的 (x) (y)是在V2中的运算。
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