文档介绍：1
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logistic回归与线性回归得比较
本报告是在学****斯坦福大学机器学****课程前四节加上配套的讲义后的总结 与认识。前四节主要讲述了回归问题，回归属于有监督学****中的一种方法。该 方法的核心思想是从连续型统计数据中得到数学模型，然后将该数学模型用于 预测或者分类。该方法处理的数据可以是多维的。
讲义最初介绍了一个基本问题，然后引出了线性回归的解决方法，然后针对
误差问题做了概率解释。之后介绍了 logistic回归。最后上升到理论层次，提
出了一般回归。
2问题引入
假设有一个房屋销售的数据如下：
面积(mA 2)
销售价钱（万
元）
123
250
150
320
87
160
102
220
• • •
• • •
这个表类似于北京5环左右的房屋价钱,我们可以做出一个图，x轴是房屋
的面积。y轴是房屋的售价，如下：
如果来了一个新的面积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？
我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输入过来, 我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合，可能是下 面的样子:
绿色的点就是我们想要预测的点。
首先给出一些概念和常用的符号。
房屋销售记录表：训练集(training set)或者训练数据(training data),是我
们流程中的输入数据，一般称为x
房屋销售价钱：输出数据，一般称为y
拟合的函数(或者称为假设或者模型)：一般写做y = h(x)
训练数据的条目数(令raining set),:一条训练数据是由一对输入数据和输 出数据组成的输入数据的维度n (特征的个数，#features)
这个例子的特征是两维的，结果是一维的。然而回归方法能够解决特征多维, 结果是一维多离散值或一维连续值的问题。
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3学****过程
下面是一个典型的机器学****的过程，首先给出一个输入数据，我们的算法会 通过一系列的过程得到一个估计的函数,这个函数有能力对没有见过的新数据 给出一个新的估计，也被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。
输入效-
। , 机器学****方法I
新款皆| — |盾计函数—新估计|
4线性回归
线性回归假设特征和结果满足线性关系。其实线性关系的表达能力非常强大, 每个特征对结果的影响强弱可以由前面的参数体现，而且每个特征变量可以首 先映射到一个函数，然后再参与线性计算。这样就可以表达特征与结果之间的 非线性关系。
我们用XI , X2..Xn去描述feature里面的分量，比如xl二房间的面积，
x2二房间的朝向,等等,我们可以做出一个估计函数：
h(x) = h6(x) = 0。 十。［X、+02x2
e在这儿称为参数，在这的意思是调整feature中每个分量的影响力，就是 到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。为了如果我们令X0 = 1 ,就 可以用向量的方式来表示了：
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我们程序也需要一个机制去评估我们e是否比较好，所以说需要对我们做出 的h函数进行评估,一般这个函数称为损失函数(loss function )或者错误函 数(error function),描述h函数不好的程度,在下面,我们称这个函数为J函 数
在这儿我们可以认为错误函数如下：
I m
4。)= 75(％(—)-严)2
min./,, 0 0
这个错误估计函数是去对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为错误估 计函数，前面乘上的1/2是为了在求导的时候，这个系数就不见了。
至于为何选择平方和作为错误估计函数，讲义后面从概率分布的角度讲解了 该公式的来源。
如何调整e以使得J(e)取得最小值有很多方法,其中有最小二乘法(min square),是一种完全是数学描述的方法,和梯度下降法。
5梯度下降法
在选定线性回归模型后，只需要确定参数e,就可以将模型用来预测。然而 e需要在J（e）最小的情况下才能确定。因此问题归结为求极小值问题，使用梯度 下降法。梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值，这与初始点的选 取有关。
梯度下降法是按下面的流程进行的：
1）首先对e赋值，这个值可以是随机的，也可以让e是一个全零的向量。
2）改变e的值，使得J（e）按梯度下降的方向进行减少。
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梯度方向由J（e）对e的偏导数确定，由于求的是极小值，因此梯度方向是偏
导数的反方向。结果为
%：=% + ° （严-刖/⑴））岁
迭代更新的方式有两种，一种是批梯度下降，也就是对全部的训练数据求得 误差后再对e进行更新，另外一种是增量梯度下降，每扫描一步都要对进行更 新。前一种方法