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复数
一、复数的概念
虚数单位i:
〔1〕它的平方等于，即；
〔2〕实数可以与它进展四那么运算，进展四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
〔3〕i与－1的关系:
i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．
〔4〕i的周期性：
， ， ， ．
数系的扩大：复数
复数的定义：
形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
复数的代数形式:
通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数
复数集与其它数集之间的关系：
两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，， ，，那么，
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二、复数的几何意义
复平面、实轴、虚轴：
复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四那么运算
复数与的和的定义：
复数与的差的定义：
复数的加法运算满足交换律:
复数的加法运算满足结合律:
乘法运算规那么：
设，(、、、)是任意两个复数，
那么它们的积
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚局部别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
乘法运算律：
〔1〕
〔2〕
〔3〕
复数除法定义：
满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
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除法运算规那么：
设复数 (、)，除以 (，)，其商为〔、)，
即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组，得
于是有:
②利用于是将的分母有理化得：
原式
．
∴(
点评:①是常规方法，②是利用初中我们学****的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数，相当于我们初中学****的的对偶式，它们之积为是有理数，而是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法．
共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
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例题精讲
复数的概念
为虚数单位〕，那么实数a，b的值分别为〔 〕
A．2，5 B．-3，1 C．-1．1 D．2，
【答案】D
计算： 〔表示虚数单位〕
【答案】
∵，而〔〕，故
设，，那么以下命题中一定正确的选项是〔 〕
A．的对应点在第一象限 B．的对应点在第四象限
C．不是纯虚数 D．是虚数
【答案】D
．
在以下命题中，正确命题的个数为〔 〕
①两个复数不能比拟大小；
②假设是纯虚数，那么实数；
③是虚数的一个充要条件是；
④假设是两个相等的实数，那么是纯虚数；
⑤的一个充要条件是．
⑥的充要条件是．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
复数为实数时，可以比拟大小，①错；时， ，②错；为实数时，也有，③错；时， ，④错；⑤⑥正确．
复数的几何意义
复数〔，为虚数单位〕在复平面上对应的点不可能位于〔 〕
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A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
由在复平面对应点如果在第一象限，那么，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
假设，复数在复平面内所对应的点在〔 〕
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
结合正、余弦函数的图象知，当时，．
如果复数满足，那么的最小值是〔 〕
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
设复数在复平面的