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§3 回归方程及回归系数的显著性检验
１、回归方程的显著性检验
(1) 回归平方和与剩余平方和
建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进展统计检验才能加以肯定或否认, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和
,
其中:
称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 那么总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大那么小, 反之, 小那么大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大那么线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 那么回归超平面过所有观测点; 如果大, 那么线性回归效果不好。
(2) 复相关系数
为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标
, ()
或
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, ()
称为复相关系数。因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差奉献〞, 因此就是这种奉献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。显然。复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验
要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设
, ()
当假设成立时, 那么与无线性关系, 否那么认为线性关系显著。检验假设应用统计量
, ()
这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即
, ()
用此统计量可检验回归的总体效果。如果假设成立, 那么当给定检验水平α下, 统计量应有
≤, ()
对于给定的置信度α, 由分布表可查得的值, 如果根据统计量算得的值为, 那么拒绝假设, 即不能认为全部为O, 即个自变量的总体回归效果是显著的, 否那么认为回归效果不显著。
利用检验对回归方程进展显著性检验的方法称为方差分析。上面对回归效果的讨论可归结于一个方差分析表中, 。
方差分析表
来 源
平方和
自由度
方 差
方差比
回 归
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剩 余
总 计
根据与的定义, 可以导出与的以下关系:
,
。
利用这两个关系式可以解决